элементарная математика

[maxmatem]

д-ть что $(a^{3}+b^{3}+c^{3})$ делится на 6, если известно что $(a+b+c)$ делится на 6. надо пользоваться симметрическими полиномами.
я рассмотрел $(a^{3}+b^{3}+c ^{3})=S_{3}$ но так и не к чему и не пришёл?

[ИСН]

Короче, надо вычесть $(a+b+c)^3$ и там дальше как-то.

[maxmatem]

от куда вы предлагаете вычесть?
у меня была мысль эту $S_{3}$ раскрыть по определению ч\з сигмы! я хотел как-нибудь с группировать чтобы вынести сигму 1. ну та, что из условия на 6 делится но как-то не пока не вышло! может какой-нибудь другой способ есть?

[ИСН]

Из вот этого, про которое надо доказать.

[maxmatem]

ну вычту потом прибавлю, к чему прийти должен? с чего у вас идея именно про $ (a+b+c)^{3}$?

[ИСН]

C того, что кубы сократятся. А к чему в итоге надо прийти, указано в Вашем же первом сообщении: что кое-кто делится на 6.

[AKM]

maxmatem в сообщении #289345 писал(а):

ну вычту потом прибавлю, к чему прийти должен? с чего у вас идея именно про $ (a+b+c)^{3}$?

Обратно прибавлять, очевидно, на придётся (ибо $ (a+b+c)^{3}$ тоже делится на 6).
А идеи такие обычно приходят либо с задворков памяти, либо просто из афигенного опыта музициатематизирования.

Если отнятие само по себе ничего не прояснит, разложите полученный факт на множители.

[maxmatem]

извините за глупый вопрос, всё таки прибавлять потом надо? или из-за того что то выражение делится на 6 можно прибавить и не вычитать!

[ИСН]

Можно вычесть и не прибавлять. Разрешаю.

[maxmatem]

! но я интиресовался лишь с точки зрения строгости и допустимости такого действия...

[AKM]

$$A-B=C$$

Если нам известно, что В делится на 6, и мы докажем, что С делится на 6, то и строго, и допустимо, и очевидно, что $A=B+C$ тоже делится на 6. И если Вам это не очевидно, то доказательству и очевиднизации этого утверждения мы тоже уделим внимание. А пока предлагаю заняться, наконец, делом.

[maxmatem]

я получил следующее $-3(a^{2}b+ab^{2}+a^{2}c+b^{2}c+2abc+ac^{2}+bc^{2})$но както сгруппировать не выходит!

[AKM]

$$-3(a+b)(b+c)(c+a).$$

А вот почему эта штука делится на 6 --- я Вам подсказывать не буду. В течение 24-х часов точно не буду.
Извольте вЫключить ЭВМ, взять ручку, бумажку, чесалку для репы, и обдумать эту изюминку.

-- Пн фев 15, 2010 22:48:16 --

Кстати, репу можно чесать пятернёй; бежать в супермаркет за чесалкой необязательно.

[AKM]

Тут вчера один товарисчь на букву R клёвую подсказку подсказал про число $a$. И почему-то сразу удалил сообщение. Но я успел подсмотреть. Мне удалось обобщить его результат на число $b$. Если к вечеру окажется, что то же верно и для числа $c$, то будет совсем простое решение...

[Батороев]

А можно и так:
$(a^3+b^3+c^3) - (a+b+c)= a(a^2-1)+b(b^2-1)+c(c^2-1)$,
где последнее выражение по МТФ делится на $3$ и все слагаемые четные.

-- Вт фев 16, 2010 11:51:00 --

Пардон, в начале не обратил внимание на условие про симметрические полиномы (даже не знаю, что это за "звери", сейчас буду посмотреть)!