Система дифф. ур. второго порядка

[Ctrl-Alt-De1]

Подскажите, пожалуйста, метод численного решения системы дифференциальных уравнений следующего вида:
$ \left\{ \begin{array}{l} \ddot r -r\dot\varphi^2-r\dot\lambda^2\cos^2 \varphi=G\frac{M}{r^2},\\ \ddot\varphi +\dot\lambda^2\cos\varphi\sin\varphi=0,\\ \ddot\lambda=0 \end{array} \right. $
Понятно, что аналитически последнее уравнение легко решается:

$$\lambda(t)=\lambda_0+\upsilon_{0\lambda}t$$

Далее, подставляя полученное решение во второе уравнение, получаем:

$$\ddot\varphi +\frac12\upsilon_{0\lambda}^2\sin2\varphi=0$$

Это уравнение с разделяющимися переменными:

$$\frac{\ddot\varphi}{\sin2\varphi}=-\frac12\upsilon_{0\lambda}^2$$

Проинтегрировав, получим:

$$\left(\frac12\ln\left(1-\cos\varphi\right)-\frac14\ln\left(1-\cos^2\varphi\right)\right)\dot\varphi=\varphi_0-\frac12\upsilon_{0\lambda}^2t$$

Дальнейшее интегрирование и подстановку в первое уравнение считаю нецелесообразным, поскольку вычисления непомерно возрастают.
Спасибо.

[Padawan]

Ctrl-Alt-De1 в сообщении #289006 писал(а):

Далее, подставляя полученное решение во второе уравнение, получаем:

$$\ddot\varphi +\frac12\upsilon_{0\lambda}^2\sin2\varphi=0$$

Это уравнение с разделяющимися переменными:

$$\frac{\ddot\varphi}{\sin2\varphi}=-\frac12\upsilon_{0\lambda}^2$$

Ничего не с разделяющимися. Надо порядок понижать заменой $\dot\varphi=p(\varphi)$

[Someone]

Ctrl-Alt-De1 в сообщении #289006 писал(а):

$$\ddot\varphi +\frac12\upsilon_{0\lambda}^2\sin2\varphi=0$$

Переписываем в виде

$$\ddot\varphi=-\frac 12\upsilon_{0\lambda}^2\sin 2\varphi$$

и умножаем на $2\dot\varphi dt=2d\varphi$:

$$2\dot\varphi\ddot\varphi dt=-\upsilon_{0\lambda}^2\sin 2\varphi d\varphi\text{,}$$

или

$$d(\dot\varphi^2)=\frac 12\upsilon_{0\lambda}^2d\cos 2\varphi\text{,}$$

откуда

$$\dot\varphi^2=\frac 12\upsilon_{0\lambda}^2\cos 2\varphi+C$$

(константа интегрирования определяется из начальных условий), откуда

$$\dot\varphi=\pm\sqrt{\frac 12\upsilon_{0\lambda}^2\cos 2\varphi+C}\text{.}$$

Вводя вспомогательную переменную $p=\dot r$, сводим Вашу систему к системе уравнений первого порядка

$$\begin{cases}\dot\varphi=\pm\sqrt{\frac 12\upsilon_{0\lambda}^2\cos 2\varphi+C}\text{,}\\ \dot p=r\left(\frac 12\upsilon_{0\lambda}^2\cos 2\varphi+C\right)+\upsilon_{0\lambda}^2r\cos^2\varphi+\frac{GM}{r^2}\text{,}\\ \dot r=p\text{,}\end{cases}$$

которая интегрируется соответствующим численным методом (поупрощайте ещё второе уравнение: $\cos 2\varphi=2\cos^2\varphi-1$).

[Someone]

Да, забыл сказать. В тех точках, где $\dot\varphi=0$, нужно менять знак перед корнем в первом уравнении.

[V.V.]

Ctrl-Alt-De1 в сообщении #289006 писал(а):

$ \left\{ \begin{array}{l} \ddot r -r\dot\varphi^2-r\dot\lambda^2\cos^2 \varphi=G\frac{M}{r^2},\\ \ddot\varphi +\dot\lambda^2\cos\varphi\sin\varphi=0,\\ \ddot\lambda=0 \end{array} \right. $

$\lambda(t)=\lambda_0 t+\lambda_1$.
Подставим во второе, получим
$\ddot\varphi+\lambda_0^2 \cos\varphi\sin\varphi=0$.
Умножим на $\dot\varphi$ и проинтегрируем, получим
$\dot{\varphi}^2+\lambda_0^2\sin^2\varphi=C$

Упростим теперь первое уравнение:
$\ddot{r} -r\dot\varphi^2-r\dot\lambda^2\cos^2 \varphi=\ddot{r}-r(\dot{\varphi}^2+\lambda_0^2\cos^2 \varphi)=\ddot{r}-r(C-\lambda_0^2\sin^2\varphi+\lambda_0^2\cos^2 \varphi)=\ddot{r}-r(C+\lambda_0^2\cos 2\varphi)$.

Итого
$\ddot{r}-(C+\lambda_0^2\cos 2\varphi)r=\frac{GM}{r^2}$.

UPD. Была лажа, исправил.

[Ctrl-Alt-De1]

Спасибо, будем разбираться.

[V.V.]

А какую задачу надо решать численно?
Коши? Краевую?

[Ctrl-Alt-De1]

Коши. Начальные условия известны