матрица дискретного преобразования Фурье

[Alexiii]

Здравствуйте!
Вот наткнулся в конспекте лекций, что столбцы матрицы ДПФ
$\mathbf{W}=\left( \begin{array}{ccccc}1&1&1&\ldots&1\\1&\omega&{\omega}^2&\ldots&{\omega}^{N-1}\\1&{\omega}^2&{\omega}^4&\ldots&{\omega}^{2(N-1)}\\ \vdots& \vdots& \vdots&\ddots&\vdots\\1&{\omega}^{N-1}&{\omega}^{2(N-1)}&\ldots&{\omega}^{(N-1)(N-1)}\end{array}\right)$,
где

$$\omega=e^{\frac{2\pi i}{N}}$$

- примитивный корень N-ой степени из единицы, ортогональны, а у меня так не получается, так как если взять к примеру k-тый и j-тый столбцы (отсчитываем от нуля) $$W_{k},W_{j}$, то имеем:

$$<W_{k},W_{j}>=\sum\limits_{n=0}^{N-1}{{\omega}^k}^n {{\omega}^j}^n=\sum\limits_{n=0}^{N-1}{\omega}^{(k+j)n}=\left\{ \begin{array}{i}N,\text{когда }k=0=j\text{ или }k+j=N \\0\text{ в иных ситуациях}\end{array}\right.$$

, а значит столбцы в общем не ортогональны!

Однако у меня есть подозрения,что в конcпекте ошибка не грубая, так как если брать k-тый столбец матрицы ДПФ $$W$, а j-тый столбец матрицы

$$W^*={\overline W}^T=\overline W,\text{так как }W=W^T$$

, сопряженной с матрицой ДПФ, то ортогональность будет иметь место, что тривиально проверяется.

[ewert]

Alexiii в сообщении #288994 писал(а):

Однако у меня есть подозрения,что в конcпекте ошибка не грубая,

Совсем не грубая (настолько негрубая, что её и обнаружить-то невозможно). Зато грубая ошибка у Вас: при вычислении скалярного произведения вторые сомножители положено брать с комплексным сопряжением.

[Alexiii]

Простите, опять ошибся, забыл по определение скалярного произведения в комплексном случае