Значения целочисленного полинома

[Руст]

1. Существует ли полином P(x) с целыми коэффициентами, что P(2)=0,P(6()=8,p(10)=64 ?
2. Найдите необходимое и достаточные условия на целые числа $a_1,a_2,...,a_n$, чтобы они были последовательными значениями полинома с целыми коэффициентами, когда аргумент меняется с шагом h, т.е $a_k=P(c+hk),k=1,2,...,n. $

[maxal]

Во-первых, заменой если определить полином $Q(x)=P(x+c)$, то это тоже будет полином с целыми коэффициентами. Другими словами, целочисленная константа $c$ особой роли в поставленной задачи не играет.
В частности, если $P(2)=0, P(6)=8, P(10)=64$, то $Q(0)=0, Q(4)=8, Q(8)=64$.

Во-вторых, если полином $Q(x)$ задан значениями в узлах $hk$ для $k=0,1,\dots,n$, то можно понизить размерность задачи $n$ на 1. А именно, если $Q(hk)=a_k$ для $k=0,1,\dots,n$, то полином $Q'(x)=\frac{Q(x+h)-Q(0)}{x+h}$ будет принимать значения $Q'(hk)=\frac{a_{k+1}-a_0}{h(k+1)}$ для $k=0,1,\dots,n-1$, которые обязаны быть целыми. При этом полином $Q(x)$ выражается через $Q'(x)$ как $Q(x)=Q'(x-h)\cdot x + Q(0)$.
Для $Q(0)=0, Q(4)=8, Q(8)=64$ понижение размерности даст полином со значениями $Q'(0)=2, Q'(4)=8$, а затем $Q''(0)=\frac{8-2}{4}=\frac{3}{2}$. Как видим, последнее значение не является целым, а потому полинома удовлетворяющего пункту 1 не существует.

В-третьих, из процедуры понижения размерности описанной выше следует, что полином $Q(x)$ в случае, когда он существует, может быть выбран степени $n$. Но тогда он определяется интерполяционной формулой Лагранжа:

$$Q(x) = \sum_{j=0}^n a_j \prod_{t=0\atop t\ne j}^n \frac{x-ht}{(j-t)h}$$

Поэтому решение задачи существует тогда и только тогда, когда интерполяционная формула Лагранжа дает полином с целыми коэффициентами. При желании можно указать явные формулы для этих коэффициентов (через числа Стирлинга 1-го рода и биномиальные коэффициенты).

[Руст]

Здесь лучше подходит не интерполяционный полином Лежандра, а процедура представления полинома в виде суммы

$$P(x)=P(x_0)+\frac{P(x_1)-P(x_0)}{x_1-x_0}(x-x_0)+\frac{P(x_2)-2P(x_1)+P(x_0)}{(x_1-x_0)(x_2-x_0)}(x-x_1)(x-x_0)+..$$

Соответственно по значениям $P(x_i)=a_i$ можно образовать треугольник Паскаля наооборот. На нулевой строчке эти числа $a^0_i=a_i,i=0,1,...,n$, далее каждая нижняя строчка определяется разницей членов в предыдущей строке:
$a^{k+1}_i=a^k_{i+1}-a^k_i, k=0,1,...,n-1,i=0,1,...,n-k-1-i$. Соответственно необходимое и достаточное условие существования целочисленного полинома есть условие того, что числа в k - ом ряду делились на $k!h^k$.
Например этот треугольник в данном случае есть
0 8 64
8 56
48
В первом ряду числа делятся на h=4, а во втором число 48 не делится на 2hh=32.

[maxal]

Руст писал(а):

Здесь лучше подходит не интерполяционный полином Лежандра, а процедура представления полинома в виде суммы

$$P(x)=P(x_0)+\frac{P(x_1)-P(x_0)}{x_1-x_0}(x-x_0)+\frac{P(x_2)-2P(x_1)+P(x_0)}{(x_1-x_0)(x_2-x_0)}(x-x_1)(x-x_0)+..$$

Здесь нужно сделать оговорку, что эта формула верна только для равномерно распределенных точек, т.е. $x_k=c+k\cdot h$. Такое представление полинома $P(x)$ является частным случаем интерполяционной формулы Ньютона, которая в общем виде выглядит несколько сложнее.

[Руст]

Да, естественно для значений, когда значения аргументов пробегают арифметическую прогрессию.