Как решать подобные примеры?

[Батороев]

В смысле, кроме 211 и 191?
Да, откуда бы другим решениям взяться? Простое число (за исключением простого 2) единственным образом раскладывается на разность квадратов:

$p=(\frac{p+1}{2})^2-(\frac{p-1}{2})^2$.

[gris]

Блин, а я делю второй час. Не помню простые после 100. Ой, да Вы же говорили. Рассеянный чего-то сегодня.

[Батороев]

(Оффтоп)

Как в пароле из к/ф "Щит и меч" : "Мы с Вами сегодня одинаково рассеяны!"

[Padawan]

Батороев в сообщении #286873 писал(а):

Negus* в сообщении #286507 писал(а):

При каком значение x многочлен $P(x)=x^3+4x^2-12x+17$ представляет собой полный квадрат?

Если можно решение и литературу на эту тему.
Заранее благодарю

Если необходимо найти решение в целых числах, то по-видимому, можно решать так:
$x^3+4x^2-12x+17=y^2$
$4x^2-2\cdot 2x\cdot 3 +(17+x^3)=y^2$
Выражение в левой части может быть квадратом при:
$(17+x^3)=9$.
Откуда: $x=-2$.

А как доказать что других решений нет?

То есть что только при $(17+x^3)=9$ ?

[Батороев]

Откровенно признаюсь, что сам не знаю.
Такой способ решения пришел на ум только сегодня. Еще не осмыслил его.
Может быть оттого, что в данном уравнении можно выделить $4x^2-12x$, поэтому решение в $(17+x^3)=9$ и заключается?
Ведь $y^2=4x^2-12x+9$ зависит от конкретного $x$.

Пробовал решать уравнение:

juna в сообщении #57318 писал(а):

Докажите, что уравнение $(m+1)^3+m^3=n^2$ имеет в целых числах только два решения $m=0,n=1$ и $m=1,n=3$.

$2m^3+3m^2+3m+1=n^2$

$m^2+2rm+(2m^3+2m^2-(2rm-3m-1))=n^2$

При $r=1$ получаем только решение $m=0$.
При $r=2$ получаем только решение $m=1$.
Т.е. общих решений нет.

Думаю, может от того, что $m$ в первой и второй степенях присутствует и в $m^2+2rm$, и в $(2m^3+2m^2-(2rm-3m-1))$

-- Ср фев 10, 2010 21:42:16 --

Скорее всего, так и есть.
Т.е. необходимо сначала составить уравнение, имеющее решение при любых $x$, а затем найти конкретное значение $x$ из вспомогательного уравнения.

[bot]

Padawan в сообщении #286969 писал(а):

А как доказать что других решений нет?

Батороев в сообщении #286983 писал(а):

Откровенно признаюсь, что сам не знаю.

Слава богу, а то кто-то мог бы подумать, что

Батороев в сообщении #286873 писал(а):

Выражение в левой части может быть квадратом при:
$17+x^3=9$.
Откуда: $x=-2$.

претендует на доказательство единственности.

В данном случае я тоже не знаю (прогнал в ёкселе до 1000 на всякий случай) - знаю только, что доказательством это не является. Легко указать примеры, в которых есть по меньшей мере ещё одно решение, отличное от полученного по Вашему методу.

Например для $P(x)=x^3+4x^2-20x+33$ кроме $P(-2)=81$ годится $P(3)=36$.

[Батороев]

Да. Согласен. Халявный метод получился и годится только для нахождения одного решения (да и то, если повезет).

Фактически мы выделяем полный квадрат, а то, что остается приравниваем к нулю:
$x^3+4x^2-12x+17=(x^3+8)+(4x^2-12x+9)=(x^3+8)+(2x-3)^2=(2x-3)^2$ при $x^3+8=0$.

[Padawan]

bot в сообщении #287090 писал(а):

прогнал в ёкселе до 1000 на всякий случай

До 20000 проверил. Нету, наверное, других.

Может так:

уравнение $x^3=k^2+2km-8$ не имеет решений в целых числах, кроме $k=0$

[kahey]

Negus* в сообщении #286507 писал(а):

При каком значение x многочлен $P(x)=x^3+4x^2-12x+17$ представляет собой полный квадрат?

Если можно решение и литературу на эту тему.
Заранее благодарю

Скорее всего, в задание опечатка.
Если бы было
$P(x)=x^3+4x^2+12x-17$, то
$x^3+4x^2+12x-17=(x-1)(x-a)(x-c)=(x-1)(x^2+dx+e)$
Полином $(x^2+dx+e)$ легко определяется.

В таком случае:
x-1 - квадрат числа.
$(x^2+dx+e)$ - квадрат числа ($(x^2+dx+e)=(x+k)^2$.

-- Сб фев 13, 2010 10:46:10 --

d, e известны
x, k - неизвестны
Получаем следующее:
$dx+e=k(2x+k)$
далее методом перебора можно найти все решения, т.к. значения k ограничены.

[fer1800]

Negus* в сообщении #286507 писал(а):

При каком значение x многочлен $P(x)=x^3+4x^2-12x+17$ представляет собой полный квадрат?

Если можно решение и литературу на эту тему.
Заранее благодарю

1) x не может быть "слишком отрицательным), поэтому отрицательные значения ищутся перебором.
2) Очевидно также, что x=3k+1 (следует из теоремы Ферма).