отображение (0,1) -> (0,1]

[Archik]

Помнится задали как-то на дифурах построить отображение взаимнооднозначное (0,1) -> (0,1] никто из группы так и не ответил. Попробуйте решить эту задачку. Дабы избежать ошибок, которые делала группа, нужно указать конкретно куда отображается 1. Если отобразить 1 на середину отрезка то задача сведется к отображению (0,1/2)+(1/2,1) -> (0,1).

[gris]

Если на дифурах, то отображение должно быть гладким?
Просто взаимнооднозначным просто, достаточно сдвинуть какое-нить счётное подмножество.

[Archik]

А гладкое существует? Я уже и не помню, что было в задаче. Точно знаю, что у всех в группе эта задача повисла. А пример можно со сдвигом?

[gris]

Начнём с того, существует ли непрерывное.
А со сдвигом пожалуйста
$\dfrac 1{2^n}\to \dfrac 1{2^{n-1}},\quad n\in\mathbb N$
остальные на месте.

[Archik]

Хм, действительно решает задачу. Может быть именно такое решение и требовалось.

[Профессор Снэйп]

gris в сообщении #286918 писал(а):

Начнём с того, существует ли непрерывное.

Хм... Докажите, что всякая биекция $(0,1)$ на $(0,1]$ имеет бесконечное число точек разрыва.

[gris]

Хм... Кто бы сомневался.