Об интегрируемости

[Sasha2]

Интересно, а можно ли пополнить (или может быть вычесть) множество всех элементтарных функций, так, чтобы добавленное (или уменьшенное) множество функций было интегрируемо в них же. Ну разумеется исключить тривиальные случаи одних констант и линейных функций.

[Руст]

Множество всех дифференцируемых функций не устроит.

[незваный гость]

Ну, во-первых, Ваш, Sasha2, пример — неправилен.

Например, полиномы замкнуты относительно интегрирования.

Главное — какое множество функций? Как Вы его строите? Например, замыканием относительно суперпозиции? Конечным или бесконечным тоже? Вопросы, вопросы… а без них Ваш вопрос теряет какой-либо смысл.

[Sasha2]

Я не стррою пример, уважаемый модератор, вообще мое математическое образование достаточно скромное, и может быть я не совсем точно сформулировал задачу, но примерно так она должна звучать: все многочлены, все показательные, все тригонометрические и обратные к таковым, плюс все то, что можно построить суперпозицией, за вычетом тех, интегралы которых (имеется ввиду неопределенные), через первые не выражаются.

P.S. Кстати, а точно ли доказано, ну хотя бы для каких-либо неэлемментарных функций, что они действительно не могут быть выражены через конечное число суперпозиций, сумм, произведений и т.д. (элементарные действия) от обычных элементарных функций?

[незваный гость]

1) Я выступаю в данном случае не как модератор, а как участник форума (я никогда не ставлю как модератор, это достаточно надежная примета). В подобном контексте ко мне можно обращаться запросто: незваный гость.

2) Вы положительно привели пример:

Sasha2 писал(а):

Ну разумеется исключить тривиальные случаи одних констант и линейных функций.

Он не замкнут — интеграл от линейной функции уже квадратичная. Поэтому я и сказал, что пример не правилен.

3) Уже ${\rm li}(x) = \int \frac{{\rm d}x}{\ln x}$ и $\int \frac{{\rm d}x}{\sqrt{x(x^2-1)}}$ являются неэлементарными функциями.

4) Не задумываясь, я не готов вспомнить примера доказательства невыразимости какой-либо функции через «элементарные».

[Sasha2]

Ну вот и с Вашим примером об интегральном логарифме. Хотелось бы узнать, как вообще доказывается, что эта функция не является элементарной. Ну вообще мне кажется, чо доказать можно, что та или иная функция интегрируется в элементарных, приведя этот интеграл. А вот обратное утверждение непонятно как доказать. Ну нельзя же перебрать все элементарные функции и показать, что ни одна не подходит. Если я ошибаюсь, пожалуйста, поправьте.

[незваный гость]

не ошибаетесь. Доказывать, действительно, не просто.

[Sasha2]

Ну так может быть просто не очень усердно считали эти интегралы?

[ИСН]

Нет, потому что доказать всё-таки можно.

[lofar]

Посмотрите, например, эту статью. Там доказывается, что функция $e^{x^2}$ не имеет элементарной первообразной.