Континуум дизъюнктных канторовых множеств

[Padawan]

Существует ли на отрезке $[0,1]$ континуум попарно непересекающихся множеств, каждое их которых гомеоморфно канторову множеству.

[AGu]

Пусть $X\subset[0,1]$ — канторово множество.
Как известно, пространство $X^2$ гомеоморфно $X$ (это следует,
например, из топологической характеризации канторова множества).
Пусть $f$ — гомеоморфизм $X^2$ на $X$.
Тогда $\bigl\{f\bigl[X{\times}\{y\}\bigr]:y\in X\bigr\}$ — искомый континуум.

[Padawan]

А у меня такое доказательство было.

Возьмем кривую Пеано: $f\colon [0,1]\to [0,1]^2$ Обозначим $C_x=f^{-1}({x}\times [0,1])$, $x\in [0,1]$. Тогда множества $C_x$ замкнуты и попарно не пересекаются. Выкинем из них те, которые имеют внутренние точки - их не более, чем счетное число. Далее по теореме Кантора-Бендиксона из каждого $C_x$ можно выкинуть счетное число точек так, чтобы осталось совершенное множество $K_x$. Так как $K_x$ не содержит внутренних точек, то оно гомеоморфно канторову.

AGu, Ваше доказательство, конечно, лучше - оно использует только определение канторова множества как $\{0,1\}^{\aleph_0}$.

Мне надо было сразу так сформулировать : канторово множество можно разбить на континуум канторовых множеств