Интеграл

[redroza]

Правильно ли я нашла интеграл? и как проверить результат дифференцированием???
$\int \frac{x^4-3x+2}{x^4-4x^2}dx=\int \frac{x^4-3x+2}{x^2(x-2)(x+2)}dx=\int \frac{A_{1}} {x^2}+ \frac{A_{2}}{x-2}+ \frac{A_{3}}{x+2}=-\frac{2}{3}\int\frac{dx}{x^2}+\frac{3}{4}\int\frac{dx}{x-2}+1\frac{1}{2}\int\frac{dx}{x+2}=-\frac{2}{3x}+\frac{3}{4}ln|x-2|+1\frac{1}{2}ln|x+2|+C}$

$\frac{x^4-3x+2}{x^2(x-2)(x+2)}=\frac{A_{1}} {x^2}+ \frac{A_{2}}{x-2}+ \frac{A_{3}}{x+2} x^4-3x+2=A_{1}(x-2)(x+2)+A_{2}(x^2)(x+2)+A_{3}(x^2)(x-2) Если х=0, то A_{1}=-\frac{1}{2} Если х=2, то A_{2}=\frac{3}{4} Если х=-2, то A_{3}=1\frac{1}{2} $

[ewert]

Неправильно категорически.

Во-первых, исходная дробь не является правильной -- поэтому перед разложением на простейшие следует выделить из неё целую часть.

Во-вторых, если в знаменателе присутствует как множитель $x^2$, то среди простейших дробей обязана присутствовать не только ${A\over x^2}$, но и ${B\over x}$ (фактически она может, конечно, оказаться и нулевой, но -- лишь случайно).

И, кстати, исправьте очипятку -- добавьте квадратик в знаменатель самого первого интеграла.

[Gravist]

redroza в сообщении #286065 писал(а):

Правильно ли я нашла интеграл? и как проверить результат дифференцированием???
$\int \frac{x^4-3x+2}{x^4-4x}dx=\int \frac{x^4-3x+2}{x^2(x-2)(x+2)}dx$

Должно быть иходный знаменатель был $x^4-4x^2$?

[redroza]

т.е надо $x^4-3x+2$ разделить на x^4-4x^2 ?$

я просто забыла квадрат поставить, уже исправила.

[AKM]

Да. Предполагая, что Вы уже разделили в столбик, приведу для проверки свой вариант:

$$\frac{x^4-3x+2}{x^4-4x^2}=\frac{x^4-4x^2+4x^2-3x+2}{x^4-4x^2}=\frac{x^4-4x^2}{x^4-4x^2}+\frac{4x^2-3x+2}{x^4-4x^2}=\text{\Large1}+\frac{4x^2-3x+2}{x^4-4x^2}.$$

[redroza]

AKM, спасибо.

а потом $\frac{4x^2-3x+2}{x^4-4x^2}$ разложить на А1, А2, А3, как я делала до этого?

[bot]

Дробей будет не 3, а 4 - см.

ewert в сообщении #286069 писал(а):

Во-вторых, если в знаменателе присутствует ...

[redroza]

Теперь правильно?
$\int \frac{x^4-3x+2}{x^4-4x^2}dx=\int \frac{x^4-3x+2}{x^2(x-2)(x+2)}dx=\int \frac{A_{1}x+B} {x^2}+ \frac{A_{2}}{x-2}+ \frac{A_{3}}{x+2}$

[AKM]

Нет. Куда Вы дели ту мою тяжким трудом добытую единицу?

$$\int \frac{x^4-3x+2}{x^4-4x^2}dx=\int \left({\color{red}\text{\Large 1}}+\frac{4x^2-3x+2}{x^4-4x^2}\right){\color{red}dx}=\int \left({\color{red}\text{\Large 1}}+\frac{A_{1}x+B} {x^2}+ \frac{A_{2}}{x-2}+ \frac{A_{3}}{x+2}\right){\color{red}dx}.$$

Разумнее сначала разобраться с дробями, найти конкретно эти самые $A,B$, а потом сувать результат под знак интеграла.

[redroza]

извините, просто забыла написать, уже решила. Спасибо большое)