Что такое замена переменных?

[Padawan]

Пусть есть пространство $\mathbb{R}^3$ точек $(x,y,z)$ и в нем задана поверхность $z=z(x,y)$. Я понимаю, что значит сделать точечную замену переменных вида

$$ x=f(u,v,w),\; y=g(u,v,w),\; z=h(u,v,w),\; $$

в выражении $\Phi(x,y,z,z_x,z_y)$: поверхность задается в новых координатах как $w=w(u,v)$ и в точке $(u,v,w)$ этой поверхности величины $x$, $y$, $z$, $z_x$, $z_y$ надо выразить через $u$, $v$, $w$, $w_u$, $w_v$ и подставить в $\Phi$.

Как тогда понимать замену, в которой участвуют производные

$$ x=f(u,v,w,w_u,w_v),\; y=g(u,v,w,w_u,w_v),\; z=h(u,v,w,w_u,w_v),\; $$

и что понимать под обратной заменой?

[Padawan]

Ну ладно, а если наоборот преобразование имеет вид

$$ u=\varphi(x,y,z,z_x,z_y),\;v=\psi(x,y,z,z_x,z_y),\;w=\chi(x,y,z,z_x,z_y),$

то это можно понять так: когда $x$ и $y$ пробегают некоторую двумерную область, точка $(u,v,w)$ пробегает некоторую поверхность в $\mathbb{R}^3$, которая и может быть задана как $w=w(u,v)$. А обратное преобразование как тогда понимать? Чтобы преобразовать $\Phi(x,y,z,z_x,z_y)$ к переменным $(u,v,w)$.

Обычную точечную замену тоже можно понимать как отображение, но там есть и другая интерпретация - одна и та же поверхность, выраженная в разных координатах. Здесь такой интерпретации, видимо нет. Короче нет ясности

Я пытаюсь разобраться с теоремой Нётер об инвариантных вариационных задачах - в формулировке теоремы она допускает чтобы преобразования группы зависили и от производных. Непонятно, что это за преобразования такие.