Площадь сферической поверхности

[std13]

Интегрировать конечно надо, даже предел от $\beta$ до $\alpha$, но вот функцию составить надо постараться. Думаю для круга здесь не подойдет.
А что если задать сферу в декартовой системе и посчитать по двум осям... Радиус от некого значения $R_1$ до $R$ и с одной стороны от $r_1$ до $r$? Ведь по сути площадь будет отсекаться двумя плоскостями от сферической части сектора сферы.

[AD]

std13, набирайте формулы в $\TeX$е!
Введение.

[std13]

А что если рассмотреть это как частный случай сферического двуугольника?

[Батороев]

Сферический двуугольник - это частный случай Вашей задачи, когда радиусы отверстия и ВНУТРа равны радиусу сферы, но по какому закону изменяется площадь искомой поверхности при уменьшении этих радиусов, не представляю.

[gris]

Я заглянул в книгу по сферической тригонометрии, но я сейчас не могу оторваться надолго, чтобы разобраться в этом или посмотреть интеграл. Не могу сосредоточиться
Насколько я знаю, сферические треугольники образованы дугами больших кругов, а у Вас это не так. А вот насчёт двуугольников не уверен.

Давайте же найдём интегрированием просто площадь полярного круга $\theta\leqslant\theta_r<\pi/2$, а потом как-нибудь и площадь пересечения.

[std13]

Батороев в сообщении #285607 писал(а):

Сферический двуугольник - это частный случай Вашей задачи

Точно
Я за интегрирование, но вот сегодня записать интеграл не смог.

[ewert]

Зачем интегрировать двуугольник, когда это -- просто долька апельсина?...

[Circiter]

2ewert

Цитата:

Зачем интегрировать двуугольник

Строго говоря, это -- не двуугольник.

-- Чт фев 04, 2010 18:55:21 --

Блин, я почти решил (вариация на тему гиппократовых луночек, только на сфере), но ответ абсурдный получился. Надо ещё подумать.

[Circiter]

Идея была в том, чтобы сначала найти $S_\triangle$ -- площадь треугольника (сферического), образованного центром отверстия и точками пересечения границ отверстия и плавающего "внутра". Угол $\varphi$ этого треугольника при центре отверстия позволит вычислить $S_\sphericalangle$ -- площадь соответствующего сферически-кругового сектора отверстия (при известной площади самого отверстия -- $S_\bigcirc$) Результат -- площадь луночки -- равен, очевидно, $S_\between=2(S_\sphericalangle-S_\triangle)$.

Проблема заключается в нахождении точек пересечения окружностей на сфере... Я попробовал несколько способов, но они слишком бредовые, и, наверняка неправильные.

P.S.: Верно ли, что $S_\sphericalangle=0,5\varphi S_\bigcirc/\pi$?

[std13]

Circiter, не могу согласиться. Это не треугольник, но и не двуугольник. Двуугольник образован двумя большиим окружностями, а найти надо площадь фигуры, образованной, грубо говоря, двумя небольшими $r<R/2$ окружностями на поверхности сферы

[Батороев]

Если сферический сектор рассечь через равные небольшие углы плоскостями, проходящими через центр сферы, то линии пересечения этих плоскостей со сферической поверхностью будут иметь переменную длину. Их длину, как мне кажется, можно описать неким интегралом от угла поворота сечения.
На второй стадии, по-видимому, можно представить, что эта переменная дуга вращается вокруг оси, проходящей через центр сферы.
Т.е. вроде бы, как напрашивается двойной интеграл. И далее варьировать пределами интегрирования.

-- Чт фев 04, 2010 21:17:11 --

А может быть, второй интеграл и не нужен
Посмотрел сейчас первую теорему Гюльдена.

[Circiter]

2std13

Цитата:

Circiter, не могу согласиться. Это не треугольник, но и не двуугольник.

Я это и говорил.

[venco]

У меня получилось что-то вроде эллиптического интеграла.
Площадь сегмента ширины $h$ сферического круга радиуса $r$ равна
$2\int\limits_{r-h}^r{\sqrt{1-\frac{\cos^2 r}{\cos^2 x}}dx}$

[gris]

А от радиуса сферы не зависит разве?

[venco]

Я подразумеваю единичную сферу.
$h$ и $r$ - углы.