Площадь сферической поверхности

[std13]

Здравствуйте, дорогие друзья! Возник вопрос.
Есть сфера радиуса R, есть отверстие в этой сфере, внутри сферы вращается круглый участок поверхности (назовем его ВНУТР) такого же размера как отверстие. Необходимо найти закон изменения площади ВНУТРа, видимой через отверстие в сфере. При совпадении центров видимая площадь будет равна полной площади ВНУТРа.
Я нашел такую закономерность для плоскости, но не могу перенести на объем.
Также нашел полную площадь ВНУТРа.

[gris]

Я понял, что ВНУТР имеет радиус кривизны, равный радиусу внешней сферы. И он просто скользит по сфере изнутри? А какой закон движения? Можно его выразить, как подвижную точку на сфере, куда проецируется центр ВНУТР?
Тогда поместим центр сферы в начало координат, ось $z$ направим в центр отверстия, перейдём к сферическим координатам.
Видимая площадь (удвоенный сегмент сферического круга) будет зависеть только от угла радиус-вектора с осью $z$ и легко считается.

[std13]

Совершенно верно, ВНУТР "скользит" по внутренней поверхности сферы и имеет такой же радиус кривизны. Закон движения на плоскости я искал через расстояние между центрами окружностей, здесь я полагаю закон движения зависимость от угла между центрами отверстия и ВНУТРа. ВНУТР вращается равномерно w=const.
Переходил и к сферическим координатам, но результат не важный.. Как посчитать сферический круг?

[gris]

Если у Вас задано расстояние между центрами кругов, то может быть и не стоит переходить к сферическим координатам, хотя наверняка есть готовые формулы для площади сегмента. Вот только вопрос - радиус отверстия и расстояние заданы не обычным образом, а как расстояние между точками вдоль геодезической? Хотя можно всегда перейти к измерению дуг. Я представляю, что размер отверстия всё же меньше полусферы, впрочем, это тоже не препятствие. Итак, имея линейный радиус сферы, дуговой радиус кругов, дуговое расстояние между центрами, можно определить размер дуги пересечения и посчитать площадь сектора.
Ясно, что если дуговое расстояние больше дугового радиуса, то круги не пересекаются. Я уверен, что в сферической геометрии есть готовые формулы.

[Батороев]

Третий раз заглядываю в тему, но до конца так и не понял, какое вращение ВНУТРа Вы подразумеваете?
Если траектория центра ВНУТРа - окружность на внутренней поверхности сферы (окружность сечения шарового сегмента), не совпадающая с центром отверстия, то проекция ВНУТРа на плоскость, в которой наблюдатель проводит свои изучения, будет неким переменным эллипсом.
Если радиус отверстия и ВНУТРа равны радиусу сферы, то задача сводится к описанию фаз Луны при заданном круговом движении Солнца.

[gris]

Насколько я понял, есть сфера радиуса $R$.
На сфере заданы два центра сферических кругов, каждый радиуса (измеренного вдоль дуги по поверхности сферы) $r<\pi R/2$, причём каждый круг имеет площадь меньше площади полусферы. Надо определить площадь пересечения кругов.

[Батороев]

Т.е. слово "видимой" в задании к наблюдателю не имеет отношения?
Я и то думаю, диссертацию пишут что ли?!

-- Вт фев 02, 2010 16:10:05 --

Если принять за "полюс" центр отверстия, то по-видимому, можно найти изменение площади перекрытия в зависимости от перемещения центра ВНУТРа по "меридиану", а затем увязать указанное перещение в зависмости от "широты".

[std13]

Итак, по-порядку.
На сфере имеется отверстие определенного радиуса r<R/2, это отверстие закрывается поверхностью радиуса r такой же кривизны как и сама сфера (как солнечное затмение), необходимо найти площадь перекрытия ВНУТРом отверстия в сфере в произвольный момент времени (иначе записать закон изменения площади перекрытия во времени). Траектория движения ВНУТРа - окружность радиуса R, в определенный момент времени ВНУТР перекрывает отверстие полностью.
Задача сводится к определению площади перекрытия в зависимости от угла между центрами отверстия и ВНУТРа.

[Батороев]

Да, вроде бы, понял я задачу.
Коль скоро имеем два круга, то их относительное перекрытие не зависит от каких-либо углов, а лишь от расстояния по дуге между центрами этих кругов (назовем "эксцентриситет").
Мне кажется, что можно сначала рассчитать, как будет изменяться площадь перекрытия при движении центра ВНУТРа по радиусу отверстия (т.е. движение по меридиану от полюса), а затем рассчитать, как изменяется сам эксентриситет при движении ВНУТРа по окружности радиуса $R$, имея в виду то, что в начальный момент он равен $0$.

[std13]

самое сложное для меня и самое необходимое на данный момент это посчитать площадь (общую формулу). до остального, надеюсь, я додумаюсь ))

[Батороев]

Вот, где проблема!
Тогда зачем сразу такое сложное условие поставили?
Написали бы, что есть два круга на сфере, расстояние между центрами такое-то, чему равна их общая площадь?

Я бы уже подумать успел бы. А так, сегодня уже и некогда.

[std13]

Извиняюсь вы дествительно правы...
Иногда стоит упростить задачу...

[Батороев]

Можно еще упростить условие задачи:

"Если через шаровой сектор радиуса $r$ сферы радиуса $R$ с центральным углом $2\alpha$ через центр сферы провести плоскость под углом к оси сектора $\beta < \alpha$, то чему будет равна площадь сферической поверхности части, отсекаемой этой плоскостью?"

Как ранее справедливо писал gris, "видимая часть ВНУТРа" (при угловом расстоянии между осями отверстия и ВНУТРа $2\beta$) будет равна этой удвоенной площади.

Правда, мне рассчитать ее не удалось.

[gris]

Может быть взять да и проинтегрировать?

[Батороев]

Скорее всего, с интегралами и надо считать, да я их смутно помню, потому и не сумел рассчитать.