Тригонометрические уравнения...!

[danil199412]

Помогите решить.... $sin^1^5 x+cos^1^5 x=1$

[ewert]

${\sqrt2\over2}\cdot\sin 15x+{\sqrt2\over2}\cdot\cos 15x={\sqrt2\over2}$, и сверните в косинус разности, например (а заодно наведите мышку, чтоб посмотреть, как пишется)

[danil199412]

не правильно поняли задание...точнее оно было у меня неправильным...сейчас все норм..=)

[ИСН]

Короче, доказывайте, что левая часть всегда меньше или равна, чем $\sin^2x+\cos^2x$, а равна тогда, когда...

[Sasha2]

Ну а тогда еще проще.
Просто покажите, что если сумма квадратов двух чисел равна 1, то больше никакая другая их степень не может быть равна 1, кроме как в случае, когда одно из них равно нулю, а второе 1.

[danil199412]

ИСН...а тоесть нужно решить неравенство? и что нам это даст...?И когда она равна?

[ewert]

Просто докажите, что с точностью до периодичности решений только два: $0$ и ${\pi\over2}$ (поскольку между этими точками производная обращается в ноль только один раз).

[danil199412]

Как?... я не совсем догоняю

[ewert]

1) Корни производной находятся элементарно, и внутри первой четверти такой корень только один.

2) А если бы между нулём и пи пополам левая часть обратилась бы в единицу ну хоть ещё разок -- сколько бы там было, как минимум, корней производной?...

[meduza]

$\sin^{15}x\leqslant\sin^2 x$, аналогично с косинусом. Значит $1=\sin^{15}x+\cos^{15}x\leqslant \sin^2 x+\cos^2 x\equiv 1$. Значит $\sin^{15}x=\sin^2 x$ и ... (если бы было не так, то неравенство было бы строгим и равенство двух единичек не получилось бы).

[jetyb]

Сперва обоснуйте неотрицательность синуса и косинуса, затем придумайте неравенство между условием и основным тригонометрическим тождеством.

[danil199412]

Погодите...производную мы не проходили...и учитель сказал что решить эту задачу можно с помощью тригонометрических уравнений...как это сделать?

[ewert]

meduza в сообщении #285188 писал(а):

$\sin^{15}x\leqslant\sin^2 x$, аналогично с косинусом. Значит $1=\sin^{15}x+\cos^{15}x\leqslant \sin^2 x+\cos^2 x\equiv 1$. Значит $\sin^{15}x=\sin^2 x$ и ... (если бы было не так, то неравенство было бы строгим и равенство двух единичек не получилось бы).

Лучше так. Если $x\in(0;{\pi\over2})$, то $\sin^{15}x<\sin^2x$ и $\cos^{15}x<\cos^2x$, откуда $\sin^{15}x+\cos^{15}x<\sin^2x+\cos^2x=1$.

[danil199412]

а что делать дальше?

[ewert]

danil199412 в сообщении #285200 писал(а):

а что делать дальше?

Дальше -- ничего, это всё. Доказано, что внутри $(0;{\pi\over2})$ решений быть не может, вне -- тем более (там хоть одно из слагаемых отрицательно, а другое не превосходит единицы); значит, только эти две точки и остаются.