Что такое внутренняя мера Жордана

[Padawan]

Как определить внутреннюю меру Жордана ограниченного множества $E$?

Варианты:

1) $\mathfrak{M}_*(k,E)$ - объединение всех кубов $Q$ ранга $k$, таких, что $Q\subset E$.

$|\mathfrak{M}_{\ast}(k,E)|$ - сумма их объемов, $m_*E=\displaystile\lim_{k\to\infty}|\mathfrak{M}_{\ast}(k,E)|$ - внутренняя мера Жордана множества $E$

2) $\mathfrak{M}_*(k,E)$ - объединение всех кубов $Q$ ранга $k$, таких, что $Q\subset \mathrm{Int}E$, где $\mathrm{Int} E$ - внутренность множества $E$. В остальном то же самое.

В итоге получается, одно и то же значение $m_*E$, но

Способ 1) используется в учебнике Кудрявцева. Но им сложновато доказать критерий измеримости $m^*\partial E = 0$.

В способе 2) проще. Он использован в лекциях, которые я слушал в своё время.

Кто в теме?

[ewert]

Я всегда считал, что внутренняя мера Жордана -- это супремум объёмов всех возможных конечно-прямоугольных областей, вписанных в множество (а внешняя --инфимум аналогичных описанных). Критерий измеримости вроде бы получается на автомате.

[Padawan]

Вписанных - содержащихся во множестве, или в его внутренности?

[ewert]

Padawan в сообщении #284785 писал(а):

Вписанных - содержащихся во множестве, или в его внутренности?

А какая разница? Вписанную в множество область всегда можно сделать строго внутренней, чуть-чуть уменьшив каждый из "прямоугольников". На определении меры это никак не отразится.