Найти объем

[Mariya]

Здравствуйте.

Решаю задачу:

Найти объем вращения замкнутой фигуры, ограниченной графиком $y=2x(2-x)$ и осью $x$, вокруг прямых 1) $y=4$, 2) $y=-2$, 1) $x=-2$.

Мои попытки:
1) $\pi \int_{0}^2 (4^2 - (2x^2-4x+4)^2)dx$, т.к. внешний радиус вращения
$R=4$, внутренний - $r=2x^2-4x+4$.
2) $\pi \int_{0}^2 ( (4x-2x^2+2)^2-2^2)dx$
3) $\pi \int_{0}^2 (4^2 - (3-\sqrt{(2-y)/2})^2dy$,
т.к. внешний радиус вращения
$R=4$, внутренний - $r=3-\sqrt{(2-y)/2}$.

[ewert]

Третья -- неверно, там должен присутствовать "плюс-минус" перед корнем, да и остальное непонятно. Но вообще-то третью лучше решать по другой формуле: $\int_{x_1}^{x_2}2\pi x\,y(x)\,dx$.

[Mariya]

Спасибо большое за ответ. Формула, которую Вы написали, - это вращение вокруг оси $Oy$, так?

Тогда я сделала сдвиг, чтобы получилось вращение вокруг $Oy$, и третий интеграл будет
$2\pi \int_2^4 (x(2(x-2)(4-x)))dx$.
Верно ли это?

[ewert]

Верно. Только зачем столько скобок?...

[Mariya]

Спасибо огромное! Скобки уберу. Мне, главное, было смысл понять.