базис Шаудера

[terminator-II]

$(X,\|\cdot\|)$ -- банахово пространство с базисом $\{e_i\}_{i\in\mathbb{N}}$.
Соответственно $X\ni x=\sum_{i=1}^\infty x_ie_i$.
Доказать, что проекторы $P_nx=\sum_{i=1}^n x_ie_i$ непрерывны.

[id]

Хм, может быть можно применить лемму:

Цитата:

Пусть банахово $L$ разложено в алгебраическую прямую сумму подпространств $L_1 \oplus L_2$. Тогда оператор проектирования на $L_1$ параллельно $L_2$ ограничен тогда и только тогда, когда $L_1$, $L_2$ замкнуты в $L$

Понятно, что следует взять в к-ве $L_1$, и почему оно будет замкнуто.
Видимо, $L_2$ будет так же замкнуто, в силу единственности разложения по базису Шаудера.

[terminator-II]

id в сообщении #284420 писал(а):

Видимо, $L_2$ будет так же замкнуто, в силу единственности разложения по базису Шаудера.

что-то мне это не очевидно

[Padawan]

В Люстернике, Соболеве "Элементы ФА" на стр. 167-171 (2-ое изд) это доказано. Сложновато...

[terminator-II]

Есть простое доказательство. Надо проверить, что норма
$|x|=\sup_{n\in\mathbb{N}}\|P_nx\|$ эквивалентна исходной, а это одна строчка

[Padawan]

Там так и доказано Полнота новой нормы длинно проверяется

[terminator-II]

Странноватое там доказательство.

$\|\cdot\|\le |\cdot|$ -- очевидно. Отсюда и полнота следует сразу
Применяем теорему оботкрытости отображения к $\mathrm{id}_X:(X,|\cdot|)\to (X,\|\cdot\|)$
получаем, что тождественный оператор непрерывен в обратную сторону. Отсюда
$|\cdot|\le c\|\cdot\|$

[Padawan]

terminator-II в сообщении #284559 писал(а):

$\|\cdot\|\le |\cdot|$ -- очевидно. Отсюда и полнота следует сразу

И как? Допустим последовательность $\{x^{(p)}\}$ фундаментальна по норме $|\cdot |$. Тогда она фундаментальна и по норме $\|\cdot\|$, следовательно сходится к некоторому $x\in X$ по норме $\|\cdot\|$. Как отсюда получить, что по норме $|\cdot|$ тоже будет сходимость?

[terminator-II]

а не надо. Рассмотрим пополнение пространства $X$ по норме $|\cdot|$. По определению пределом последовательности $\{x^{(p)}\}$ будем называть элемент $x$ к которому она сходится по норме $\|\cdot\|$.

[Padawan]

По-Вашему получается, что если в банаховом пространстве $(X,\|\cdot\|)$ есть еще одна норма $|\cdot|$ с условием $\|\cdot\|\leqslant |\cdot |$, то эти нормы обязательно эквивалентны? Полнота относительно $|\cdot|$ необходима и достаточно. Сейчас придумаю контрпример, когда её нет.

[AGu]

Padawan в сообщении #284595 писал(а):

По-Вашему получается, что если в банаховом пространстве $(X,\|\cdot\|)$ есть еще одна норма $|\cdot|$ с условием $\|\cdot\|\leqslant |\cdot |$, то эти нормы обязательно эквивалентны? Полнота относительно $|\cdot|$ необходима и достаточно. Сейчас придумаю контрпример, когда её нет.

Такой «контрпример» есть для любого бесконечномерного банахова пространства $(X,\|{\cdot}\|)$: в качестве $|x|$ можно рассмотреть $\|x\|+|f(x)|$, где $f$ — неограниченный линейный функционал на $(X,\|{\cdot}\|)$.

[Padawan]

Во-во!

[terminator-II]

Padawan в сообщении #284475 писал(а):

В Люстернике, Соболеве "Элементы ФА" на стр. 167-171 (2-ое изд) это доказано. Сложновато...

Мнда. Действительно, никогда не обращал на это внимания.