Генератор

[lukire]

Из книги Челнокова "Генераторы синусоидальных колебаний"

... получаем символическое уравнение автогенератора
$(1+jv)*\mathrm U_b= \mathit K*R_n*(\mathrm I_k - K * \mathrm I_b)-(1+\mathit jv)*j*X_a*\mathrm I_b$(3.12)

Комплексную амплитуду медленно меняющегося гармонического напряжения база-эмиттер в соответствии с (3.11) можно представить в виде
$\mathrm U_b= \mathit U_b(t)*exp(j*\varphi(t))$; (3.13)
а комплексные амплитуды первых гармоник токов коллектора в виде
$\mathrm I_k=(\mathit I_{kre}+j*I_{kim})*exp(j*\varphi(t))$; $\mathrm I_b=(\mathit I_{bre}+j*I_{bim})*exp(j*\varphi(t))$; (3.14)

Здесь $I_{kre}, I_{bre}$ - вещественные, т.е. синфазные с входным напряжением, составляющие токов коллектора и базы; $I_{kim}, I_{bim}$ - мнимые, т.е. квадратурные, составляющие этих токов. Эти составляющие являются функциями амплитуд напряжений на базе и коллекторе, фазы между этими гармоническими напряжениями и постоянного смещения база - эммитер.
Для получения укороченного дифференциального уравнения, следуя [37], в (3.12) надо подставить (3.13), (3.14), а под jv подразумевать дифференциальный оператор Tкd/dt, действующий на комплексные амплитуды. В результате получим уравнения, описывающие процессы установления амплитуды и фазы в автогенераторе. Важно, что эти уравнения разделяются, это упрощает дальнейший анализ; уравнение для амплитуды имеет вид

$\frac{\dot{U}_b}{U_b}=-1+\frac {К*R_n*I_{kre}}{U_b}-\frac{K^2*R_n*I_{bre}}{U_b}+\frac{X_a*I_{bim}}{U_b}+\frac{X_a*\dot{I}_{bim}}{U_b}+\frac{X_a*I_{bre}}{U_b}*$

$*\frac{(K*R_n*I_{kim}/U_b-K^2*R_n*I_{bim}/U_b-X_a*I_{bre}/U_b-X_a*\dot{I}_{bre}/U_b)}{(1-X_a*I_{bim}/U_b)}$ ; (3.15)

Точка в (3.15) обозначает дифференцирование о безразмерному времени t/Тк. К уравнению, описывающему закон изменения медленно меняющейся фазы, вернёмся позже.....



Подставляем в (3.12) , раскрываем скобки. Правая часть уравнения:

$U*exp(j*\varphi)+\frac {dU} {dt}*exp(j*\varphi)+exp(j*\varphi)*j*U*\frac {d\varphi} {dt}$

Левая часть уравнения:

$(K*R*I_{kre}+j*K*R*I_{kim}-K^2*I_{bre}*R-j*K^2*R*I_{bim})*exp(j\varphi)-$

$-(j*X*I_{bre}+j^2*X*I_{bim})*exp(j\varphi)-j*exp(j\varphi)*\frac {dI_{bre}} {dt}-\underline{j^2*X*I_{bre}*exp(j\varphi)*\frac {d\varphi}{dt}}-$

$-j^2*X*exp(j\varphi)*\frac{dI_{bim}}{dt} -j^3*exp(j\varphi)*I_{bre}*X*\frac{d\varphi}{dt}$;

$exp(j\varphi)$ можно сократить. Согласно [37] надо разделить мнимые и действительные части. Тогда получаются выражения для дифференциала фазы и амплитуды. Но мешается "действительный" дифференциал фазы (почёркнуто).

Вопрос - как всё-таки получилось уравнение 3.15?

[AKM]

В математике вопрос подвис без ответа. Переношу в физику.