Два функциональных уравнения

[arseniiv]

Пытался решить придуманные собой же уравнения (они отдельно, не в системе):
$\xi \circ f = g \circ \xi$
$\xi(xf(y)) = y\xi(x)$
Можно ли найти функцию $\xi$ из них (имею ввиду привести уравнение к форме $\xi(x) = \dots$)?
Первое, похоже, вообще не получится? А зато для второго я установил, что $\xi(0) = 0$ и $f(1) = 1$, а ещё нашёл частное решение $\xi(x) = 0$. Тут я сомневаюсь, что есть ещё какие-нибудь, но доказать не умею. Ну и конечно же, дифференциирование ничем не помогло.
А старую тему про функц. уравнения потерял, поэтому новая.

[mihiv]

$\xi (x)=f(x)=x$ для второго случая.

[arseniiv]

А для любой $f$ решения нет? Спасибо. А как это найти?

[mihiv]

Продифференцировать уравнение по y,а потом взять y=1.Других решений похоже нет.

[arseniiv]

Всё-таки я неправильно дифференцировал! Сейчас перепробую.

-- Чт янв 28, 2010 21:46:00 --

У меня почему-то вышло после интегрирования $\xi (x) = kx^{1/f'(1)}$.
Проверка показывает, что у меня только для положительных чисел верно. Тогда ваше решение туда как раз входит.
Ой, нет, конечно же. Это мне просто хорошая функция попалась для проверки. На другой сразу не сошлось. Значит, плохо интегрировал.

[Mikhail Sokolov]

Чтобы ответить на вопрос необходимо знать, по крайней мере, область определения функций. Например, если область определения функций есть $(0,\infty)$, область значений функции $f$ содержится в $(0,\infty)$ и $\xi$ непрерывна, то общее решение второго функционального уравнения имеет вид $\xi(x)=cx^a$, $f(x)=x^{1/a}$; $\xi(x)=0$, $f$ - любая.

[mihiv]

Для первого функционального уравнения, насколько я понял, функции $f$ и $g$ заданы,тогда существует очевидное решение,для случая когда $f=g$,а именно $\xi (x)=f^{-1}(x)$,где $f^{-1}$ функция обратная $f$.Существуют,конечно,и другие решения.