Вписанная равнобедренная трапеция

[Marina]

В окружность радиуса 5 вписана трапеции ABCD, диагонали которой взаимно перпендикулярны и большее основание AD=8. Найти: а) меньшее основание б) боковую сторону.
Я нашла меньшее основание ВС оно равно 6, а вот с длиной боковой стороны проблемы возникла.
Подскажите, пожалуйста, если сумма дуг, на которые опираются боковые стороны трапеции, равна $180^\circ$, значит дуги AB и CD равны $90^\circ$ т.к. боковые стороны равны, а вписанные углы CAD и BDA, опирающийся на эти дуги, равны половине от $90^\circ$ т.е. $45^\circ$? Или я ошибаюсь???

[gris]

А с чего Вы взяли, что центр описанной окружности лежит на пересечении диагоналей? Или откуда взяли сумму дуг? Поясните.

[Marina]

Цитата:

откуда взяли сумму дуг?

Диагонали трапеции я расматривала как пересекающиеся хорды. Следовательно угол, образованный пересекающимися хордами, с вершиной внутри окружности равен полусумме соответствующих дуг. Сумма дуг, заключенных между боковыми сторонами трапеции, соответственно, равна 180, а полусумма -90.

[Sasha2]

Да просто воспользуйтесь хорошо известным фактом, что точка пересечения диагоналей трапеции отстоит от большего основания на величину равную среднему гармоническому этих оснований.

[gris]

то, что угол 45, это верно. Можно и провести высоту через центр. Но зная основания и высоту, боковую сторону можно посчитать по теореме Пифагора. Вообще, в равнобедренной трапеции всегда проводятся две высоты из вершин меньшего основания. На всякий случай.

[Marina]

Sasha2
Если я Вас правильно поняла, то расстояние от точки пересечения диагоналей до меньшего основания равно $3$, а до большего равно $4$. Следовательно высота трапеции равна $7$, а боковые стороны, по Пифагору, равны $5\sqrt2$?

[Sasha2]

Да не знаю. Вы уж сами считайте. Там ведь все углы прямые и по 45 градусов.
Поэтому, там в треугольниках уж сами точно разберетесь.

[Marina]

Цитата:

А с чего Вы взяли, что центр описанной окружности лежит на пересечении диагоналей?

gris Вы меня не правильно поняли. Я ведь не сказала, что центр описанной окружности лежит на пересечении диагоналей. Я лишь хотела сказать, что если вписанный угол опирается на дугу равную $90^\circ$, то он равен половине этой дуги т.е. $45^\circ$. Или это неверно?

-- Пн янв 25, 2010 11:20:45 --

Sasha2. Я не согласна с Вашим высказыванием

Цитата:

Там ведь все углы прямые и по 45 градусов.

Т.к. при решении задачи мне пришлось находить синус угла $ACD$ и он не равна 45 градусам.

[gris]

Это верно, но уж как-то сложно мне показалось. Там же симметрично всё, везде Пифагор, а тут вписанные углы, свойства хорд...
Я бы вообще сразу нашёл боковую сторону из $\Delta ABO$

[Marina]

gris
На Ваш взгляд такое решение не рационально?

[gris]

Находите любые решения. Только потом поищите более простые, более рациональные, более какие-то-ещё. Посмотрите, что Вы могли использовать, но не использовали. А потом Вы же не написали, как нашли меньшее основание.

[Marina]

Цитата:

Вы же не написали, как нашли меньшее основание.

gris По теореме синусов нашла синусы углов ACD и CDB, а зная величину углов выразила сторону $BC$ треугольника $CDB$. Вот и всё.

[gris]

Как нашли по теореме синусов? Не соображу никак.

Я в момент, когда находит непонимание, что делать дальше, беру циркуль, провожу окружность радиусом 5 см, в ней хорду длиной 8 см, соединяю концы с радиусами, провожу радиусы, перпендикулярные этим радиусам, и получаю чертёж моей трапеции as is. И начинаю медитировать.

Использование теоремы, указанной Sasha2, сразу даёт ответ. Но эту теорему ещё надо помнить и уметь доказывать. Вот ещё один урок - чем больше разных теорем Вы знаете, тем Вам проще решать задачи.

[Marina]

$AD=2R*SinACD$
$BC=2R*Sin(90-ACD)=2R*CosACD=2R*\sqrt{1-Sin^2ACD}$

[gris]

Правильно, правильно.
Просто высота трапеции равна полусумме оснований, если диагонали перпендикулярны, но даже её не обязательно находить.