Олимпиадные задачи на шахматной доске

[АльфияР]

Пожалуйста! надо срочно решить задачу!
Какое наименьшее число ладей нужно поставить на шахматную доску, чтобы все белые клетки стояли под боем этих ладей?

(знаю, что их должно быть 4 и все они стоят по главной диагонали через одну, но нужно доказать в общем, что число ладей больше или равно четырем)

[RIP]

Какое максимальное число белых клеток может находиться под боем одной ладьи? А сколько всего белых клеток?

[АльфияР]

Всего белых клеток-32! Под боем одной ладьи максимум может находиться 8 клеток!

[Батороев]

АльфияР писал(а):

Пожалуйста! надо срочно решить задачу!
Какое наименьшее число ладей нужно поставить на шахматную доску, чтобы все белые клетки стояли под боем этих ладей?

(знаю, что их должно быть 4 и все они стоят по главной диагонали через одну, но нужно доказать в общем, что число ладей больше или равно четырем)

Вариант:
- Обозначить все клетки доски числами от 0 до 63.
- Перевести обозначения в восмеричную систему счисления.
- Убедиться, что в обозначениях белых клеток одного ряда (вертикального и горизонтального) цифры в соответствующих разрядах разнятся на 2.
- Имея в виду, что "ладья бьет" - это совпадение цифр в разрядах обозначения какой-либо клетки с цифрами в тех же разрядах обозначений белых клеток, выбрать клетки, в обозначении каждой из которых одинаковые цифры, но отличающиеся на 2 в разных из выбранных клеток*:
1. 11, 33, 55, 77.
2. 00, 22, 44, 66.

*Филологи будут в шоке

[assistant]

Народ не подкинете ли каких-нибудь задач олимпиадных на шахматной доске?

Темы объединены.

[Black_Queen152]

Я знаю несколько таких задач и выложила некоторые из них вот тут:
http://immortal223.borda.ru/?1-13-20-00 ... 1258634379
Также там помещены решения задач.

[assistant]

спасибо

[Black_Queen152]

Только что забрала на почте свежий номер журнала "КВАНТ"! В нем обнаружились новые задачи с участием шахматных фигур на шахматной доске... ну, и иногда не совсем на шахматной:

В левом нижнем углу шахматной доски 8х8 стоит король. Двое по очереди передвигают его по доске на одну клетку либо вправо, либо вверх, либо по диагонали "вправо-вверх". Проигрывает тот, кто не может сделать ход. Кто выигрывает при правильной игре?

Ферзь стоит в левом нижнем углу клетчатой доски 10х12. Двое по очереди передвигают его по доске на любое число клеток вправо, вверх или по диагонали "вправо-вверх". Проигрывает тот, кто не может сделать ход. Кто выигрывает при правильной игре?

Двое играют в шахматы, но делают по два хода сразу. Есть ли у второго выигрышная стратегия?

Белая ладья преследует черного слона на доске размером 3х100 (ходят по очереди по обычным правилам, начинают белые. Как играть ладье, чтобы взять слона?

[maxal]

Найдите минимальное число ладей, которые могут быть расставлены на доске $n\times n$ так, чтобы в каждой вертикали и горизонтали находилась по крайней мере одна ладья, и каждая ладья находилась под ударом хотя бы одной другой ладьи.

[General]

Интересная задача!
Сначала подумал про 2n-1 ладей, затем - про по 3 ладьи на каждую пару вертикалей/горизонталей, затем, глядя на цифровую клавиатуру - про по 4 ладьи на каждые 3 вертикали/горизонтали. Придётся всё-таки рисовать на бумаге теперь.

[General]

Имея некоторое расположение ладей, удовлетворяющее условиям, можно получить другие, удовлетворяющие условиям, расположения, меняя местами столбцы, строки и транспонируя доску.
Так что можно рассматривать только случаи, когда два левых поля нижней горизонтали заняты ладьями.

У меня получается, что лучше чем $ceil \left(\frac{4n}{3}\right)$ не выйдет.

IBM выложил задачу февраля
Просят не гуглевать

Каковы первые 5 ходов шахматной партии, начинающейся с хода белых (e2-e4) и заканчивающейся взятием чёрным конём белой ладьи, приводящим к мату?

[Edward_Tur]

Хромая ладья посещает каждую клетку шахматной доски и возвращается на исходную позицию. За один ход она переходит на соседнюю клетку (с общей стороной). Маршрут хромой ладьи замкнут и представляет собой невыпуклый многоугольник без самопересечений. Найти его площадь (маршрут проходит через центры клеток).

[venco]

Edward_Tur в сообщении #367427 писал(а):

Хромая ладья

(Оффтоп)

$31=\frac{64-2}2$
Через каждую клетку маршрут проходит либо прямо, деля её ровно пополам на внутреннюю и внешнюю область, либо поворачивая, с аналогичным, но неравным делением. Поворотов в одну сторону на 4 больше, чем в другую, что даёт разницу в 2 клетки между площадью внешней и внутренней областей.

[Edward_Tur]

Формула Пика сразу даёт результат: $0+64/2-1=31$.