Минимальное значение выражения

[srider0000]

Найти минимальное значение выражения

$|x-y|+\sqrt{(x-3)^2+(y+1)^2}$

Подскажите, пожалуйста, в каком направлении думать!

[meduza]

Экстремум функции двух переменных $z(x,y)$

[srider0000]

meduza в сообщении #283227 писал(а):

Экстремум функции двух переменных $z(x,y)$

Нельзя решать при помощи анализа, тем более функций от двух переменных. Нужно школьными методами решить.

[gris]

Графически. Расстояние(почти) от точки до прямой плюс расстояние от точки до точки.

[srider0000]

gris

Большое спасибо!
$|x-y|$ - это расстояние от точки $(x,y)$ до прямой $x-y=0$, а $\sqrt{(x-3)^2+(y+1)^2}$ - это расстояние от точки $(x,y)$ до точки $(3,-1)$. Значит, минимум этого выражения - это расстояние от $(3,-1)$ до $x-y=0$!

[Koftochka]

srider0000 в сообщении #283223 писал(а):

Найти минимальное значение выражения

$|x-y|+\sqrt{(x-3)^2+(y+1)^2}$

Подскажите, пожалуйста, в каком направлении думать!

Подсказка:
Первое слагаемое $|x-y|$, очевидно, имеет минимальное значение $0$, которое достигается при всех $x=y$. Теперь замени $y$ на $x$ во втором слагаемом $\sqrt{(x-3)^2+(y+1)^2}$ и найди его минимум.

[gris]

Модуль разности это расстояние, умноженное на $\sqrt2$, постройте чертёжик. То есть расстояние до прямой "забивает" расстояние до точки. Но идея та. Минимум на конце отрезка.

Интересно, что идея Koftochkи в данном случае сработает, но вот если взять выражение $|x-y|+2\sqrt{(x-3)^2+(y+1)^2}$, то уже нет. Удвоенный корень будет давать больший вклад в сумму, чем модуль.

[Koftochka]

gris в сообщении #283243 писал(а):

Интересно, что идея Koftochkи в данном случае сработает, но вот если взять выражение $|x-y|+2\sqrt{(x-3)^2+(y+1)^2}$, то уже нет. Удвоенный корень будет давать больший вклад в сумму, чем модуль.

То в этом случае, наоборот, сначала найти минимум второго слагаемого, затем полученные минимизирующие $x$ и $y$ подставить в первое слагаемое.

Т.е. автору, я думаю, надо просто рассмотреть два случая для полноты решения.

[gris]

Это не совсем так, уважаемая Koftochka.
Например чисто визуально представьте, что каждая функция имеет очень большое значение в точке минимума другой функции.

[Koftochka]

$gris$

Конечно, извиняюсь, не сообразила сразу, удалила.