Тепловой взрыв в круге

[IRI]

Теоретический вопрос, подразумевающий не чрезмерно длинный ответ: зная «нормальные моды» в задаче о теплопроводности в круге, построить её решение и проанализировать возможность описания явления «теплового взрыва».

Уравнение теплопроводности — понятно,

$u_t = a^2 \Delta u + f(r,\varphi,t)$
$u|_{t=0} = u_0(x)$

где оператор Лапласа

$\Delta u = \frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial r}(r \frac{\partial u}{\partial r}) + \frac{1}{\partial r^2} \frac{\partial^2 u}{\partial \varphi^2}$

Ну и граничные условия однородные. Знаем нормальные моды $u_{np}$ и можем построить решение в виде ряда $u(r,\varphi,t) = \sum_{n,p}T_{np}(t)u_{np}(x,y)$.
В общем, решение мне вроде ясно, но что такое тепловой взрыв? Вся найденная мной литература либо не даёт решения, либо предполагает, что решение известно, либо задача решена приближёнными методами. Это какая-то особенная неоднородность $f(r,\varphi,t)$, которая даёт неограниченное возрастание температуры со временем? Каков её вид? Заранее спасибо за ответ

[ewert]

IRI в сообщении #282363 писал(а):

Это какая-то особенная неоднородность $f(r,\varphi,t)$, которая даёт неограниченное возрастание температуры со временем?

Нет, это какая-то нелинейная неоднородность: $f$ должно зависеть не столько от $r,\varphi,t$, сколько от $u$. Ну или если даже линейная по $u$, то коэффициент пропорциональности должен быть достаточно большим положительным. Если же зависимости $f$ от $u$ вообще нет, то никакого неограниченного возрастания, разумеется, быть не может.

[IRI]

Наверно, я плохо понимаю, но если $u$ зависит от $r, \varphi, t$, то разве нельзя выбрать такую $f$, чтобы она зависела похожим образом? Ну то есть разве не $f=f(u), u=u(x) \to f=f(x)$?

И какой тогда вид должна иметь неоднородность, чтобы этот тепловой взрыв всё-таки произошёл?

[ewert]

IRI в сообщении #282864 писал(а):

Наверно, я плохо понимаю, но если $u$ зависит от $r, \varphi, t$, то разве нельзя выбрать такую $f$, чтобы она зависела похожим образом?

Если $f$ не зависит от $u$, то формальное решение -- это $u(t)=\int_0^te^{(t-\tau)\Delta}\cdot f(t)\,dt$ (координатные переменные опущены). Лапласиан отрицателен (причём с запасом), поэтому операторная экспонента ограничена по норме и притом быстро стремится к нулю с ростом времени, поэтому и решение ограничено -- настолько, насколько ограничена норма $f(t)$. Это не взрыв.

[IRI]

А можно тогда пример неоднородности, дающий взрыв?

[ewert]

Я не знаю этой теории. Но если, например, $f=\alpha\cdot u$, где $\alpha$ больше модуля наименьшего (по модулю) собственного числа лапласиана, то температура будет, естественно, экспоненциально возрастать.

[p51x]

Посмотрите: Худяев С.И. Пороговые явления в нелинейных уравнениях.