Из школьной геометрии (планиметрии)

[Marina]

Условие задачи:
В $\Delta ABC$ со сторонами $AB=4$,$BC=6$, биссектриса$BD=3\sqrt2$. На биссектрисе$BD$ как на диаметре построена окружность, пересекающая стороны$AB$ и$BC$ в точке $A`$ и$C`$ соответственно. Найти:
а) длину стороны $AC$;
б) длины отрезков $BA`$и $BC`$.
Моё решение пункта а) такое: $BD^2=AB*BC-DC*DA$$\to$$DC*DA=6$.
Т.к. $DC=1,5DA$ находим, что $DA=2$, а $DC=3$. Следовательно $AC=5$.
А вот с пунктом б) загвозка. Сделайте, пожалуйста, наводящую подсказку.

[gris]

Обратите внимание, что длина отрезков не зависит от расположения точек $A$ и $C$.
Для нахождения отрезков и углов полезно заключать их в треугольники. Особенно прямоугольные. Может быть стоит провести пару отрезков?

[Sasha2]

Вдаваться лень в проверку.
Но так вот сразу.
1) Вы вычислили AC, а значит по теореме косинусов можете найти косинус угла между сторонами AB и BC.
2) Угол при вершине A' прямой, как имеющий опорной хордой диаметр.
3) Остается найти косинус половины угла зная косину целого.

[gris]

Я думаю, что не все обращаются на форум с желанием проэкзаменовать здешних обитателей. Ясно, что многие участники способны сразу увидеть решение задачи и продемонстрировать свои недюжинные способности. Для этого существует раздел "олимпиадные задачи". В этом же разделе большинство спрашивающих хотят научиться решать задачи, просят не готовых решений, а только лёгких подсказок, наводящих вопросов.
Впрочем, иногда видно, что человек ищет халявы, но только не в этом случае.
ИМХО, разумеется.

[Marina]

По формуле $% MathType!MTEF!2!1!+- % feaaguart1ev2aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn % hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr % 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq-Jc9 % vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0-yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr-x % fr-xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaamOCaiabg2 % da9maakaaabaWaaSaaaeaacaGGOaGaamiCaiabgkHiTiaadgeacaWG % cbGaaiykaiaacIcacaWGWbGaeyOeI0IaamOqaiaadoeacaGGPaGaai % ikaiaadchacqGHsislcaWGbbGaam4qaiaacMcaaeaacaWGWbaaaaWc % beaaaaa!476A! \[r = \sqrt {\frac{{(p - AB)(p - BC)(p - AC)}}{p}} \] $ нашла $r=1,75$. По теореме косинусов нашла величину $% MathType!MTEF!2!1!+- % feaaguart1ev2aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn % hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr % 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq-Jc9 % vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0-yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr-x % fr-xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaeyiiIaTaam % 4qaiabg2da9iaaikdacaaI3aWaaWbaaSqabeaacqWIyiYBaaaaaa!3C42! \[\angle C = {55^ \circ }\] $. Из центра вписанной окружности $O$опустила перпендикуляр на одну из сторон $AB$или$BC$. Затем через $% MathType!MTEF!2!1!+- % feaaguart1ev2aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn % hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr % 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq-Jc9 % vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0-yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr-x % fr-xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaamiDaiaad6 % gacaWGNbGaeyiiIaTaam4qaiaac+cacaaIYaaaaa!3C9F! \[tng\angle C/2\]$ и радиус окружности нашла стороны $BA`= BC`=3,5$. Верно ли моё решение?

[gris]

упс
Зачем Вам радиус вписанной окружности? Наша окружность не вписанная.
То, что отрезки равны, правильно. Сторону $AC$ тоже нашли правильно. С чего Вы взяли, что $\angle C=55^{\circ}?$
$\cos \angle ABD$ находится из $\Delta ABD$

Главное -ответ неправильный, хотя совсем на чуть-чуть

[Marina]

В последнем сообщении допустила опечатку: угол$B=55$градусам, следовательно, угол АВD= 27 градусам.

Цитата:

Зачем Вам радиус вписанной окружности?

Через него находила сторону АВ`.

[gris]

Он не равен точно $27^{\circ}$, да нам и не нужно знать его точное значение.
Без чертежа трудно понять, как связана вписанная окружность с точкой пересечения стороны с первоначальной окружностью. Через подобие треугольников?

[ewert]

Marina в сообщении #282841 писал(а):

По теореме косинусов нашла величину $\[\angle C = {55^ \circ }\] $.

И совершенно напрасно. По теореме косинусов следовало искать сразу косинус половины угла $B$ (из треугольника со сторонами $4$, $3\sqrt2$ и $2$). А ровно этот косинус и нужен, чтобы найти $BC'$ из $3\sqrt2$.

[Marina]

Мой чертёж к задачи .
Может он не соответствует условию?

[Батороев]

Должна быть окружность с диаметром, равным $BD$.

[gris]

Как говаривал Виктор Ширшов, две ошибки вполне могут дать верный результат. Как же у Вас для Вашего чертежа получилось 3,5? Чудо, однако.

Вы радиус неправильно нашли. Корень забыли извлечь из Герона. Кстати, Вы его не забыли ещё?

[Marina]

Я первоначально напортачила с чертежом. А отсюда и мои ошибки. А так верно?

[gris]

Это верно.

[Marina]

Теперь буду решать согласно чертежу.