Цитата:
каковы последствия признания, что градиент скалярной функции -- не вектор
для Уравнений Эйлера идеальной жидкости
![$ \[ \rho \vec F - \operatorname{grad} p = \rho \ddot \vec u \]$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/d/1/4d19fb03ee6b5006de44fc439f39ea7582.png "$ \[ \rho \vec F - \operatorname{grad} p = \rho \ddot \vec u \]$")
Или, скажем, для основной теоремы векторного анализа о расщеплении векторного поля на потенциальное и соленоидальное. Или хотя бы для формулы
![$\[ \operatorname{rot} _{} \operatorname{rot} \dot \vec u = \operatorname{grad} _{} div\dot \vec u - \nabla ^2 \dot \vec u \]$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/5/b/f5babea765db5ae6b921933b2af2a40082.png "$\[ \operatorname{rot} _{} \operatorname{rot} \dot \vec u = \operatorname{grad} _{} div\dot \vec u - \nabla ^2 \dot \vec u \]$")
Поскольку градиент не вектор, то что это означает для лапласиана и ротора?
Да никаких последсвий. Поскольку мы не интересуемся здесь заменами переменных, то, как Вам много раз объясняли, и не только я, разница нежду векором и ковектором неощутима, имеется каноническое отождествление.
Так что ответ. Никаких последствий.
Цитата:
Покажите хотя бы, что ротор будет нулевым, т.е. повороты элеметарного объема будут отсутствовать при любой ориентации системы координат.
Ротор преобразуется естественным образом, умножением на матрицу преобразования координат. Нулевой вектор при омножении на любую матрицу дает нулевой вектор. Вот и все доказательство.
Цитата:
shwedka в сообщении #403945 писал(а):
Александр Козачок в сообщении #399687 писал(а):
![$\[ \frac{{\partial \dot u_x }} {{\partial x_i }}\frac{{\partial \dot u_y }} {{\partial x_j }} = \frac{{\partial \dot u_x }} {{\partial x_j }}\frac{{\partial \dot u_y }} {{\partial x_i }},_{} \frac{{\partial \dot u_x }} {{\partial x_i }}\frac{{\partial \dot u_z }} {{\partial x_j }} = \frac{{\partial \dot u_x }} {{\partial x_j }}\frac{{\partial \dot u_z }} {{\partial x_i }},_{} \frac{{\partial \dot u_y }} {{\partial x_i }}\frac{{\partial \dot u_z }} {{\partial x_j }} = \frac{{\partial \dot u_y }} {{\partial x_j }}\frac{{\partial \dot u_z }} {{\partial x_i }} \]$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/7/c/f7cfd5fee2301623867ebe4411a0455482.png "$\[ \frac{{\partial \dot u_x }} {{\partial x_i }}\frac{{\partial \dot u_y }} {{\partial x_j }} = \frac{{\partial \dot u_x }} {{\partial x_j }}\frac{{\partial \dot u_y }} {{\partial x_i }},_{} \frac{{\partial \dot u_x }} {{\partial x_i }}\frac{{\partial \dot u_z }} {{\partial x_j }} = \frac{{\partial \dot u_x }} {{\partial x_j }}\frac{{\partial \dot u_z }} {{\partial x_i }},_{} \frac{{\partial \dot u_y }} {{\partial x_i }}\frac{{\partial \dot u_z }} {{\partial x_j }} = \frac{{\partial \dot u_y }} {{\partial x_j }}\frac{{\partial \dot u_z }} {{\partial x_i }} \]$")
Это и есть те
необходимые условия, которым должны соответствовать три функции, формирующие векторное поле в декартовой системе координат.
Это же полный бред!!! Вам опять же многократно объясняли.
Но ведь именно эти формулы дают ответ, каким требованиям должен отвечать « Объект, дифференциал которого вектор». Этот объект должен быть истинным вектором, т.е. удовлетворять упомянутым выше необходимым условиям. К тому же после длительной и весьма жесткой дискуссии по поводу вывода этих же формул
Дискуссия по поводу вывода этих формул состояла в указании многочисленных Ваших ошибок.
Цитата:
Это и есть те
необходимые условия, которым должны соответствовать три функции, формирующие векторное поле в декартовой системе координат.
Это утверждение Вами никогда доказано не было.
Более того, Вы, несмотря на мои многочисленные просьбы, так и не сподобились
привести такое определение вектор-функции, которое ВЫ признаете.
Пока Вы такое определение не дадите, любая дискуссия на эту тему контрпродуктивна.
-- Чт фев 03, 2011 23:04:00 --Я приведу цитаты из нескольких книг по векторному анализу, взятых наугад.
Фиников. Векторный анализ.Гл. 2. Стр.139.
Цитата:
Любые три функции образуют векторное поле.
(Вопрос о замене системы координат не рассматривается)
Шилов, Лекции по векторному анализу. Стр.9
Векторное поле:
Цитата:
каждой точке области пространства сопоставлен вектор.
(Вопрос о замене системы координат не рассматривается)
Кочин. векторное исчисление и начала тензорного анализа. §11 Стр.101
Цитата:
задание векторного поля равносильно заданию трех скалярных функций.
В этой части Вопрос о замене системы координат не рассматривается.
Далее, в гл. 4, §3, в общей теории векторов и тензоров рассматривается вопрос о замене.. Вводится понятие ковариантных и контравариантных векторов -- векторов и ковекторов в современной терминологии. Об*ясняется разница.В частносси, объясняется все про градиент.
Борисенко, Тарапов, векторный анализ и начала тензорного исчисления.
Раздел 2.3, стр 55-58
Цитата:
Три числа или функции, определяющие вектор, меняются
при изменении пространственной системы координат, но по
такому закону, что в любой из координатных систем они опре-
деляют один и тот же вектор.
Вводится понятие ковариантных и контравариантных векторов, и далее там же
Если в пространстве задан вектор А, то его компоненты А{
определятся, если выбрана какая-то система (К) декартовых
координат.
На стр. 58 написано именно то, что Вы отказываетесь понять.
Цитата:
Вектор—это величина, определяемая в любой системе коор-
динат тремя числами (или функциями) , которые при изме-
нении пространственной системы координат преобразуются в
по закону
....
Три величины являются компонентами вектора.
Обратно, если при изменении пространственной системы коор-
динат три числа изменяются по закону B.6), то эти числа
определяют вектор.
Если компоненты вектора заданы в одной системе декартовых
координат (К), то, используя закон B.6) преобразования ком-
понент вектора, можно определить компоненты в любой дру-
гой системе, оси которой составляют с осями первой системы
углы с косинусами ....
Г. Лаптев. Элементы векторного исчисления.
Гл. 14. стр.239.
Цитата:
1. Если в каждой точке пекоторой части пространства
определен вектор -В, то говорят, что в этой части простран-
ства определено векторное поле (поле вектора К). Иначе
говоря, векторное поле определяется заданием переменного
вектора Л, который становится определенным вектором в
каждой точке рассматриваемой части пространства. Этот
переменный вектор R называется вектором поля.
В каждом конкретном случае вектор поля изображает
какую-либо конкретную физическую величину.
И так во всех источниках, без счета.
Все они подтверждают то, что я и другие вам втолковывали.
В фиксированной системе координат любые три функции задают векторное поле.Вы сможете привести хотя бы один аргумент в противоположную сторону, кроме неправильно понятой цитаты из Лойцянского и своих вычислений с детскими ошибками?
Но никакого обсуждения не будет, пока Вы не приведете определение векторного поля, с которым Вы согласны.
И никакие разговоры типа ...
прежде разберемся... не принимается. Определение на стол!
.
. Набор чисел 
образуют вектор в точке 
. Тогда вектором 
тоже будет вектором в этой точке. Это и есть дифференциал координат точки. Его значение зависит от величины 
. Короче - дифференциал точки(=радиус-вектора) - главная линенйная часть приращения ее координат. Я повторяю, то что говорил ![$\[
\frac{{\partial \dot u_x }}
{{\partial x_i }}\frac{{\partial \dot u_y }}
{{\partial x_j }} = \frac{{\partial \dot u_x }}
{{\partial x_j }}\frac{{\partial \dot u_y }}
{{\partial x_i }},_{} \frac{{\partial \dot u_x }}
{{\partial x_i }}\frac{{\partial \dot u_z }}
{{\partial x_j }} = \frac{{\partial \dot u_x }}
{{\partial x_j }}\frac{{\partial \dot u_z }}
{{\partial x_i }},_{} \frac{{\partial \dot u_y }}
{{\partial x_i }}\frac{{\partial \dot u_z }}
{{\partial x_j }} = \frac{{\partial \dot u_y }}
{{\partial x_j }}\frac{{\partial \dot u_z }}
{{\partial x_i }}
\]$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/8/d/3/8d367f0c2eb9ff8b130edc4cfaa4eeab82.png "$\[
\frac{{\partial \dot u_x }}
{{\partial x_i }}\frac{{\partial \dot u_y }}
{{\partial x_j }} = \frac{{\partial \dot u_x }}
{{\partial x_j }}\frac{{\partial \dot u_y }}
{{\partial x_i }},_{} \frac{{\partial \dot u_x }}
{{\partial x_i }}\frac{{\partial \dot u_z }}
{{\partial x_j }} = \frac{{\partial \dot u_x }}
{{\partial x_j }}\frac{{\partial \dot u_z }}
{{\partial x_i }},_{} \frac{{\partial \dot u_y }}
{{\partial x_i }}\frac{{\partial \dot u_z }}
{{\partial x_j }} = \frac{{\partial \dot u_y }}
{{\partial x_j }}\frac{{\partial \dot u_z }}
{{\partial x_i }}
\]$")
![$ \[
\rho \vec F - \operatorname{grad} p = \rho \ddot \vec u
\]$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/9/0/f/90fc7e5f85505314a3cef3ef1dadb5fb82.png "$ \[
\rho \vec F - \operatorname{grad} p = \rho \ddot \vec u
\]$")
![$\[
\operatorname{rot} _{} \operatorname{rot} \dot \vec u = \operatorname{grad} _{} div\dot \vec u - \nabla ^2 \dot \vec u
\]$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/8/2/2829952915ad7da277905b18fd4b077682.png "$\[
\operatorname{rot} _{} \operatorname{rot} \dot \vec u = \operatorname{grad} _{} div\dot \vec u - \nabla ^2 \dot \vec u
\]$")
![$\[
x,y, - 2z
\]$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/f/7/2f76e0c6cde44911cc623d80c22d5a4e82.png "$\[
x,y, - 2z
\]$")
. Скажите, пожалуйста, какими формулами и соответствующими авторитетними ссылками Вы можете подтвердить, что три функции ![$\[
\begin{gathered}
\hfill \ddot u_x = \frac{{d\dot u_x }}
{{dt}} = \frac{{\partial \dot u_x }}
{{\partial t}} + \dot u_x \frac{{\partial \dot u_x }}
{{\partial x}} + \dot u_y \frac{{\partial \dot u_x }}
{{\partial y}} + \dot u_z \frac{{\partial \dot u_x }}
{{\partial z}}, \\
\hfill \ddot u_y = \frac{{d\dot u_y }}
{{dt}} = \frac{{\partial \dot u_y }}
{{\partial t}} + \dot u_x \frac{{\partial \dot u_y }}
{{\partial x}} + \dot u_y \frac{{\partial \dot u_y }}
{{\partial y}} + \dot u_z \frac{{\partial \dot u_y }}
{{\partial z}}, \\
\hfill \ddot u_z = \frac{{d\dot u_z }}
{{dt}} = \frac{{\partial \dot u_z }}
{{\partial t}} + \dot u_x \frac{{\partial \dot u_z }}
{{\partial x}} + \dot u_y \frac{{\partial \dot u_z }}
{{\partial y}} + \dot u_z \frac{{\partial \dot u_z }}
{{\partial z}}. \\
\end{gathered}
\]$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/c/4/b/c4bc95aec48d3310a525e8eadd687fea82.png "$\[
\begin{gathered}
\hfill \ddot u_x = \frac{{d\dot u_x }}
{{dt}} = \frac{{\partial \dot u_x }}
{{\partial t}} + \dot u_x \frac{{\partial \dot u_x }}
{{\partial x}} + \dot u_y \frac{{\partial \dot u_x }}
{{\partial y}} + \dot u_z \frac{{\partial \dot u_x }}
{{\partial z}}, \\
\hfill \ddot u_y = \frac{{d\dot u_y }}
{{dt}} = \frac{{\partial \dot u_y }}
{{\partial t}} + \dot u_x \frac{{\partial \dot u_y }}
{{\partial x}} + \dot u_y \frac{{\partial \dot u_y }}
{{\partial y}} + \dot u_z \frac{{\partial \dot u_y }}
{{\partial z}}, \\
\hfill \ddot u_z = \frac{{d\dot u_z }}
{{dt}} = \frac{{\partial \dot u_z }}
{{\partial t}} + \dot u_x \frac{{\partial \dot u_z }}
{{\partial x}} + \dot u_y \frac{{\partial \dot u_z }}
{{\partial y}} + \dot u_z \frac{{\partial \dot u_z }}
{{\partial z}}. \\
\end{gathered}
\]$")
![$\[
\begin{gathered}
\operatorname{div} \ddot \vec u = \frac{{\partial \ddot u_x }}
{{\partial x}} + \frac{{\partial \ddot u_y }}
{{\partial y}} + \frac{{\partial \ddot u_z }}
{{\partial z}} = \frac{\partial }
{{\partial t}}\operatorname{div} \dot \vec u + \dot u_x \frac{\partial }
{{\partial x}}\operatorname{div} \dot \vec u + \dot u_y \frac{\partial }
{{\partial y}}\operatorname{div} \dot \vec u + \dot u_z \frac{\partial }
{{\partial z}}\operatorname{div} \dot \vec u + \\
+ \left[ {\left( {\frac{{\partial \dot u_x }}
{{\partial x}}} \right)^2 + \left( {\frac{{\partial \dot u_y }}
{{\partial y}}} \right)^2 + \left( {\frac{{\partial \dot u_z }}
{{\partial z}}} \right)^2 + 2\left( {\frac{{\partial \dot u_x }}
{{\partial y}}\frac{{\partial \dot u_y }}
{{\partial x}} + \frac{{\partial \dot u_y }}
{{\partial z}}\frac{{\partial \dot u_z }}
{{\partial y}} + \frac{{\partial \dot u_x }}
{{\partial z}}\frac{{\partial \dot u_z }}
{{\partial x}}} \right)} \right] \\
\end{gathered}
\]$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/2/4/024585d390029fea8c04d9b44f0456ae82.png "$\[
\begin{gathered}
\operatorname{div} \ddot \vec u = \frac{{\partial \ddot u_x }}
{{\partial x}} + \frac{{\partial \ddot u_y }}
{{\partial y}} + \frac{{\partial \ddot u_z }}
{{\partial z}} = \frac{\partial }
{{\partial t}}\operatorname{div} \dot \vec u + \dot u_x \frac{\partial }
{{\partial x}}\operatorname{div} \dot \vec u + \dot u_y \frac{\partial }
{{\partial y}}\operatorname{div} \dot \vec u + \dot u_z \frac{\partial }
{{\partial z}}\operatorname{div} \dot \vec u + \\
+ \left[ {\left( {\frac{{\partial \dot u_x }}
{{\partial x}}} \right)^2 + \left( {\frac{{\partial \dot u_y }}
{{\partial y}}} \right)^2 + \left( {\frac{{\partial \dot u_z }}
{{\partial z}}} \right)^2 + 2\left( {\frac{{\partial \dot u_x }}
{{\partial y}}\frac{{\partial \dot u_y }}
{{\partial x}} + \frac{{\partial \dot u_y }}
{{\partial z}}\frac{{\partial \dot u_z }}
{{\partial y}} + \frac{{\partial \dot u_x }}
{{\partial z}}\frac{{\partial \dot u_z }}
{{\partial x}}} \right)} \right] \\
\end{gathered}
\]$")
![$\[
\operatorname{div} \ddot \vec u = \frac{d}
{{dt}}\operatorname{div} \dot \vec u + (\operatorname{div} \dot \vec u)^2
\] $](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/9/7/8/978761f20e5894af6dd8a303d30cdeb382.png "$\[
\operatorname{div} \ddot \vec u = \frac{d}
{{dt}}\operatorname{div} \dot \vec u + (\operatorname{div} \dot \vec u)^2
\] $")
![$\[
\left( {\frac{{\partial \dot u_x }}
{{\partial x}}} \right)^2 + \left( {\frac{{\partial \dot u_y }}
{{\partial y}}} \right)^2 + \left( {\frac{{\partial \dot u_z }}
{{\partial z}}} \right)^2 + 2\left( {\frac{{\partial \dot u_x }}
{{\partial y}}\frac{{\partial \dot u_y }}
{{\partial x}} + \frac{{\partial \dot u_y }}
{{\partial z}}\frac{{\partial \dot u_z }}
{{\partial y}} + \frac{{\partial \dot u_x }}
{{\partial z}}\frac{{\partial \dot u_z }}
{{\partial x}}} \right) = (\operatorname{div} \dot \vec u)^2
\]$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/2/5/025eec619b109cea8fe201cb6d497a2982.png "$\[
\left( {\frac{{\partial \dot u_x }}
{{\partial x}}} \right)^2 + \left( {\frac{{\partial \dot u_y }}
{{\partial y}}} \right)^2 + \left( {\frac{{\partial \dot u_z }}
{{\partial z}}} \right)^2 + 2\left( {\frac{{\partial \dot u_x }}
{{\partial y}}\frac{{\partial \dot u_y }}
{{\partial x}} + \frac{{\partial \dot u_y }}
{{\partial z}}\frac{{\partial \dot u_z }}
{{\partial y}} + \frac{{\partial \dot u_x }}
{{\partial z}}\frac{{\partial \dot u_z }}
{{\partial x}}} \right) = (\operatorname{div} \dot \vec u)^2
\]$")
![$\[
\frac{{\partial \dot u_x }}
{{\partial x}}\frac{{\partial \dot u_y }}
{{\partial y}} = \frac{{\partial \dot u_x }}
{{\partial y}}\frac{{\partial \dot u_y }}
{{\partial x}},\frac{{\partial \dot u_x }}
{{\partial x}}\frac{{\partial \dot u_z }}
{{\partial z}} = \frac{{\partial \dot u_x }}
{{\partial z}}\frac{{\partial \dot u_z }}
{{\partial x}},\frac{{\partial \dot u_y }}
{{\partial y}}\frac{{\partial \dot u_z }}
{{\partial z}} = \frac{{\partial \dot u_y }}
{{\partial z}}\frac{{\partial \dot u_z }}
{{\partial y}}
\]$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/7/2/c/72c93c2d523a5ba397094d91f896213e82.png "$\[
\frac{{\partial \dot u_x }}
{{\partial x}}\frac{{\partial \dot u_y }}
{{\partial y}} = \frac{{\partial \dot u_x }}
{{\partial y}}\frac{{\partial \dot u_y }}
{{\partial x}},\frac{{\partial \dot u_x }}
{{\partial x}}\frac{{\partial \dot u_z }}
{{\partial z}} = \frac{{\partial \dot u_x }}
{{\partial z}}\frac{{\partial \dot u_z }}
{{\partial x}},\frac{{\partial \dot u_y }}
{{\partial y}}\frac{{\partial \dot u_z }}
{{\partial z}} = \frac{{\partial \dot u_y }}
{{\partial z}}\frac{{\partial \dot u_z }}
{{\partial y}}
\]$")
![$\[ \operatorname{div} \ddot \vec u = \frac{d} {{dt}}\operatorname{div} \dot \vec u + (\operatorname{div} \dot \vec u)^2 \] $](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/1/f/b/1fb039cb1bbc6548863a2fa90812a33582.png "$\[ \operatorname{div} \ddot \vec u = \frac{d} {{dt}}\operatorname{div} \dot \vec u + (\operatorname{div} \dot \vec u)^2 \] $")
![$\[ \operatorname{div} \ddot \vec u = \frac{d} {{dt}}\operatorname{div} \dot \vec u +777 (\operatorname{div} \dot \vec u)^2 \] $](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/7/b/c/7bc5f17e44a4a29bfeaded87f3393cc682.png "$\[ \operatorname{div} \ddot \vec u = \frac{d} {{dt}}\operatorname{div} \dot \vec u +777 (\operatorname{div} \dot \vec u)^2 \] $")
![$\[ \operatorname{div} \ddot \vec u = \frac{d} {{dt}}\operatorname{div} \dot \vec u +|u|^2(\operatorname{div} \dot \vec u)^2 \] $](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/e/a/1/ea18c5aca08870b9c2b58c3cc07e973382.png "$\[ \operatorname{div} \ddot \vec u = \frac{d} {{dt}}\operatorname{div} \dot \vec u +|u|^2(\operatorname{div} \dot \vec u)^2 \] $")
![$\[ \frac{{\partial \dot u_x }} {{\partial x}}\frac{{\partial \dot u_y }} {{\partial y}} = \frac{{\partial \dot u_x }} {{\partial y}}\frac{{\partial \dot u_y }} {{\partial x}},\frac{{\partial \dot u_x }} {{\partial x}}\frac{{\partial \dot u_z }} {{\partial z}} = \frac{{\partial \dot u_x }} {{\partial z}}\frac{{\partial \dot u_z }} {{\partial x}},\frac{{\partial \dot u_y }} {{\partial y}}\frac{{\partial \dot u_z }} {{\partial z}} = \frac{{\partial \dot u_y }} {{\partial z}}\frac{{\partial \dot u_z }} {{\partial y}} \]$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/5/5/f557a3222d2aaf22db5611c01fd7630882.png "$\[ \frac{{\partial \dot u_x }} {{\partial x}}\frac{{\partial \dot u_y }} {{\partial y}} = \frac{{\partial \dot u_x }} {{\partial y}}\frac{{\partial \dot u_y }} {{\partial x}},\frac{{\partial \dot u_x }} {{\partial x}}\frac{{\partial \dot u_z }} {{\partial z}} = \frac{{\partial \dot u_x }} {{\partial z}}\frac{{\partial \dot u_z }} {{\partial x}},\frac{{\partial \dot u_y }} {{\partial y}}\frac{{\partial \dot u_z }} {{\partial z}} = \frac{{\partial \dot u_y }} {{\partial z}}\frac{{\partial \dot u_z }} {{\partial y}} \]$")
как видно зануление дивергенции тут не достаточное условие. Только для однородной жидкости (
) ваше утверждение верно. Зануление дивергенции - это в точности равенство нулю объемной деформации, то есть несжимаемость. Это можно посмотреть в любой монографии, хоть в Гольдштейне, хоть в Жермене, хоть в Трусделле.