ShMaxG не прав. Задача не решена, так как пока что выяснено, что среди трёх чисел есть пара чётных. Это ещё не означает, что НОД этих трёх чисел отличен от 1.
В моём решении существенно используется положительность чисел a, b и c, таким образом, даже на целые числа напрямую это решение перенести нельзя.
Предположим, что числа a, b и c взаимно простые.
Тогда их можно представить в виде:
,
где x = НОД(b,c), y = НОД(c,a), z = НОД(a,b). Пусть из чисел x, y, z последнее (то есть z) является меньшим из всех. Рассмотрим дробь
. Эта дробь - целое число. Для получения противоречия осталось воспользоваться тем фактом, что НОД(Ay, Bx) = 1.
21.01.2010, 07:43 
являются целыми. Докажите, что НОД (a,b,c)> 1
![$\[\left\{ \begin{gathered}
\frac{1}
{c} + \frac{1}
{b} = \frac{1}
{k} \hfill \\
\frac{1}
{a} + \frac{1}
{c} = \frac{1}
{m} \hfill \\
\frac{1}
{a} + \frac{1}
{b} = \frac{1}
{l} \hfill \\
\end{gathered} \right.\]$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/1/4/8/148597fd384f6918d759dc1ad839a63a82.png "$\[\left\{ \begin{gathered}
\frac{1}
{c} + \frac{1}
{b} = \frac{1}
{k} \hfill \\
\frac{1}
{a} + \frac{1}
{c} = \frac{1}
{m} \hfill \\
\frac{1}
{a} + \frac{1}
{b} = \frac{1}
{l} \hfill \\
\end{gathered} \right.\]$")
- нечетны. Придете к противоречию. И оставшийся случай, когда кто-то из каждой пары 
, 
и 
- четное число. Снова придете к противоречию.
, т.е. что данные числа - взаимно простые. И рассмотрели фактически 2 взаимоисключающих случая, получив противоречие с предположением... Что же следует отсюда?