Доказана ли Уайлсом гипотеза Биля?

[age]

Расширим кривую Фрея следующим образом
$y^2=x(x-a^n)(x-c^k)$.
Если алгебраически преобразовать данную кривую, то получится эллиптическая кривая:
$y^2=x^3-\dfrac{a^{2n}-a^nc^k+c^{2k}}{3}x-\dfrac{(2c^k-a^n)(c^k-2a^n)(c^k+a^n)}{27}$

Ее дискриминант равен $\Delta=a^{2n}c^{2k}(c^k-a^n)^2$, т.е. если $c^k-a^n=b^m$, то
$\Delta=a^{2n}b^{2m}c^{2k}$.
(прим. $\Delta=a^{2n}b^{2n}c^{2n}$ - для теоремы Ферма)
Последнее, есть не что иное как "кондуктор" уравнения $x^n+y^m=z^k$.
Таким образом, дискриминанты различаются лишь показателями степеней.

Т.е. для уравнения $x^n+y^m=z^k$ мы получаем те же самые условия, что и для теоремы Ферма и точно такой же результат

Теперь если применить к последнему дискриминанту теорему Рибета, то точно также путем деления кондуктора кривой на $\prod\limits_{p:\varepsilon_p=1}{p}$ мы получим пространство уровня 2, т.е. теорема Рибета работает одинаково в отношении обеих кривых.

По сути, вместо одного простого числа $n$ там будут фиксироваться три $n,m,k$. И по сути данная кривая точно также не может быть модулярна

Или я ошибся?

[age]

Прим. Размерность пространства уровня 2 $\dim S_2(2)=0$ равна нулю, поэтому все коэффициенты соответствующей модулярной формы равны нулю $b_i=0$.
В то же время для формы $f(z)\in S_2(N)$ исходной кривой, т.к. она модулярна $a_1=1$.
Поэтому по теореме Рибета точно так же $a_1-b_1=1$ - не делится ни на $n$, ни на $m$, ни на $k$. Противоречие. Т.е. кривая не может быть модулярна.

[tolstopuz]

age в сообщении #281758 писал(а):

Т.е. для уравнения $x^n+y^m=z^k$ мы получаем те же самые условия, что и для теоремы Ферма и точно такой же результат

Для простоты лучше сразу взять случай $n=m=k=2$.

[age]

tolstopuz
Насколько я понял рассматриваются числа $\geq5$ (а понял я быть может неправильно).

[tolstopuz]

Кстати, из более полной теоремы о модулярности эллиптических кривых, которая была доказана через 6 лет после Уайлза и не ограничивается полустабильными кривыми, следует, например, что $x^n+y^n=z^3$ неразрешимо при взаимно простых $x$ и $y$.

[age]

Попробую еще раз изложить более подробно с точки зрения вот этой статьи Ю.П.Соловьева.

Теорема Рибета:
Пусть $E$ - модулярная эллиптическая кривая с рациональными коэффициентами, имеющая дискриминант
$\Delta=\prod\limits_{p|\Delta}{p^{\delta_p}}$
(прим. для теоремы Ферма все показатели степени $\delta_p=nk_p$).
и кондуктор
$N=\prod\limits_{p|\Delta}{p^{\varepsilon_p}}$,
где показатели степени $\varepsilon_p=1$ для всех $p\geq5$, а для простых $2$ и $3$ $\varepsilon_2$ и $\varepsilon_3$ вычисляются по специальному алгоритму.
Пусть
$f(z)=\sum\limits_{i=1}^\infty{a_iq^i}\in S_2(N)$ - соответствующая ей модулярная форма уровня $N$ -кондуктора.
Тогда для простого числа $n|\delta_p\in\Delta$ -найдется такая модулярная форма
$f_1(z)=\sum\limits_{i=1}^\infty{d_iq^i}\in S_2(N_n)$
меньшего уровня $N_n<N$, где
$N_n=\dfrac{N}{\prod\limits_{p|\Delta;p:\varepsilon_p=1}{p}}$
что $n|(a_i-d_i)$ - для всех $i>n$.


Таким образом, для случая кривой Фрея при условии $a^n+b^n=c^n$:
$N_n=\dfrac{N}{\prod\limits_{p|\Delta;p:\varepsilon_p=1}{p}}$ - в знаменатель попадут все те простые делители числа $\Delta$, для которых $\varepsilon_p=1$, т.е. простые числа большие $3$. Откуда числитель и знаменатель сократятся и $N_n=2$. Поэтому, если бы кривая Фрея при условии $a^n+b^n=c^n$ была модулярна, то существовала бы модулярная форма уровня $N_n=2$. Но размерность этого пространства равна нулю. Т.е. все $d_i=0$.


Теперь видно, что если заменить дискриминант кривой Фрея $\Delta_n=(abc)^{2n}$ дискриминантом данной кривой $\Delta_{n,m,k}=a^{2n}b^{2m}c^{2k}$,
то кондуктор данной кривой по прежнему останется
$N=\prod\limits_{p|\Delta}{p^{\varepsilon_p}}$
где $\varepsilon_p=1$ для всех $p\geq5$ а для простых $2$ и $3$ $\varepsilon_2$ и $\varepsilon_3$ вычисляются по специальному алгоритму.
Т.е. для кондуктора поменяются лишь показатели $\varepsilon_2$ и $\varepsilon_3$.
Поэтому точно таким же образом кондуктор данной кривой $N$ поделится на все простые числа $\varepsilon_p$ - делители дискриминанта, за исключением числа $2$. И получится точно так же $N_{n,m,k}=2\in S_2(2)$, размерность которого равна нулю. Т.е. все $b_i=0$ и кривая точно так же не может быть модулярной.

[Коровьев]

Всё вроде бы и верно, но

tolstopuz в сообщении #281846 писал(а):

Для простоты лучше сразу взять случай $n=m=k=2$.

и даже $n=m=k=1$
Значит, где-то раньше собака порылась.

[age]

Случаи $n=m=k=2$ и $n=m=k=1$ исчерпываются также и теоремой Ферма для $n=1$ и $n=2$. Значит, по какой-то причине эти случаи не рассматриваются (кроме того сказано, что опускается случай $n=3$, т.к. он доказан Эйлером).
Да и не совсем понятно, почему в результате применения теоремы Рибета получается пространство уровня $2$, ведь для $\varepsilon_3\neq1$ также получается неравенство единице и число $3$ должно входить в $N_n$. Плюс вопрос, почему $2$ и $3$ входят в $N_n$ именно в первой степени? Ведь их степень в кондукторе не равна единице.

Плюс, очень интересны уравнения $x^2+y^7=z^5$, $x^2+y^3=z^4$. Вопросов хватает.

[Коровьев]

age в сообщении #282354 писал(а):

(кроме того сказано, что опускается случай $n=3$, т.к. он доказан Эйлером).

В док-ве приведённым Соловьёвым нигде не использовано, что $n>3$, посему мы вправе подставить для $n$ любое значение. Но это нонсенс.
Следовательно, собаку надо искать в самом 150 страничном доказательстве Уайлса.

[age]

Коровьев
Уайлс доказал гипотезу Таниямы-Шимуры, что всякая эллиптическая кривая с рациональными коэффициентами модулярна. Она, как мне кажется, здесь не так важна.
Гипотеза Таниямы-Шимуры вообще бы не имела никакого отношения к теореме Ферма, если бы не теорема Рибета, которая утверждает, что кривая Фрея при условии $x^n+y^n=z^n$ - дает модулярную эллиптическую кривую в пространстве уровня 2. А это пространство нулевое.
Поэтому, как мне кажется, ключевой является именно теорема Рибета, которая утверждает невозможность модулярности кривой Фрея.
Если же мы опровергнем Уайлса, то получится, что не всякая эллиптическая кривая с рациональными коэффициентами модулярна. Т.е. найдутся такие эллиптические кривые с рациональными коэффициентами, которым в соответствие нельзя поставить ни одной модулярной формы.
А это совсем другая опера. Даже если мы это докажем, то всего лишь получится, что кривая Фрея не может быть модулярна, как и множество других эллиптических кривых с рациональными коэффициентами.

Но и доказательство само по себе мне не нравится!
Невозможность теоремы Ферма в нем вытекает не из какого-то противоречия, а из насколько я понял - невозможности существования набора заданных свойств ($a^n+b^n=c^n$) у кривой Фрея. Т.е. только при наличие данного свойства для коэффициентов кривой Фрея она не может быть модулярной. А может еще при наличие каких-то свойств? А может какие-то другие свойства приведут к тому, что она станет модулярной? Это неясно.
И ответы на все эти вопросы дает именно теорема Рибета. Поэтому, мне кажется, важнее рассмотреть именно теорему Рибета.

[tolstopuz]

Коровьев в сообщении #282376 писал(а):

В док-ве приведённым Соловьёвым нигде не использовано, что $n>3$, посему мы вправе подставить для $n$ любое значение. Но это нонсенс.
Следовательно, собаку надо искать в самом 150 страничном доказательстве Уайлса.

Там пропущены выкладки приведения кривой к глобально минимальной форме и вычисления минимального дискриминанта и кондуктора. Они есть в статье Серра 80-х годов, которая у меня где-то лежит на французском. В ней лучше видно, для чего $n\ge5$.

[age]

Очень бы интересно перевести следующий текст:

Цитата:

Let $E(Q)$ be an ecliptic curve with dicriminant $\Delta$, conductor $N$, and L-function
Write $\Delta=p_1^{\alpha_p1}p_2^{\alpha_p2}...\cdot p_r^{\alpha_pr}$, $N=\prod\limits_{p|\Delta}{p^{\beta_p}}$ and fix a prime, l. As remarked in section IV,$E[l]$ is a 2-dimensional vector space. If there is no 1-dimensional subspace of $E[l]$ which is left fixed by the action of the Galois group $G=Gal(Q(E [l])/Q)$, where $Q(E[l])$ is the smallest field containing the rationals and the coordinates of the points in $E[l]$, then $E[l]$ is said to be irreducible. If $E[l]$ is irreducible, then Ribet's theorem states that there exists $f_1\in S_2(N_1)$.

В смысле не просто перевести, а объяснить и понять. Например, почему

Цитата:

$E[l]$ is a 2-dimensional vector space?

И почему

Цитата:

If there is no 1-dimensional subspace of $E[l]$ which is left fixed by the action of the Galois group $G=Gal(Q(E [l])/Q)$, where $Q(E[l])$ is the smallest field containing the rationals and the coordinates of the points in $E[l]$, then $E[l]$ is said to be irreducible

И очень бы неплохо хотя бы одну ссылочку на доказательство теоремы Рибета.

[Ales]

Ссылка на статью Рибета.
http://archive.numdam.org/ARCHIVE/AFST/ ... _116_0.pdf

-- Пт янв 22, 2010 14:23:59 --

Там приведено доказательство. Теорема 5.1

-- Пт янв 22, 2010 14:26:15 --

Надо знать эллиптические функции.