2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Пример из книги В.И.Арнольда (предел)
Сообщение21.01.2010, 06:32 


21/01/10
5
Цитата:
Вот пример задачи, которую люди вроде Барроу, Ньютона, Гюйгенса решили бы за считанные минуты и которую современные математики быстро решить, по-моему, не способны (во всяком случае, я ещё не видел математика, который быстро бы с ней справился): вычислить
$\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\sin(\tg(x))-\tg(\sin(x))}{\arcsin(\arctg(x))-\arctg(\arcsin(x))}$


Думал-думал, так и не сообразил, как здесь вычислить предел быстро, да ещё и используя только то, что было во времена Ньютона. Может, у кого-то есть идеи?

 Профиль  
                  
 
 Re: Пример из книги В.И.Арнольда
Сообщение21.01.2010, 06:54 
Заслуженный участник


04/05/09
4584
$\lim\limits_{x\to 0}\frac{\sin(\tg(x))-\tg(\sin(x))}{\arcsin(\arctg(x))-\arctg(\arcsin(x))} = \lim\limits_{x\to 0}\frac{f(x)-g(x)}{g^{-1}(x)-f^{-1}(x)}$ где $f(0) = g(0) = 0, f'(0) = g'(0) = 1$.
Нарисовав графики, можно увидеть, что предел равен $1$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Пример из книги В.И.Арнольда
Сообщение21.01.2010, 11:24 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
Чего-то я из графиков ничего не вижу; ну, может, и подслеповат.

А вот откуда единица действительно следует. Если $f(x)=x+a_{n}x^{n}+\ldots$ и $g(x)=x+\widetilde a_{n}x^{n}+\ldots$ (где $a_n\neq\widetilde a_n$), то $f^{-1}(y)=y-a_{n}y^{n}+\ldots$ и $g^{-1}(y)=y-\widetilde a_{n}y^{n}+\ldots$. Тогда, конечно, $\lim\limits_{x\to0}{f(x)-g(x)\over g^{-1}(x)-f^{-1}(x)}=1$.

У нас немного не так; у нас $f(x)=x+a_2x^2+\ldots+a_{n-1}x^{n-1}+a_{n}x^{n}+\ldots$ и $g(x)=x+a_2x^2+\ldots+a_{n-1}x^{n-1}+\widetilde a_{n}x^{n}+\ldots$ при некотором $n>1$ (фактически при $n=7$, но это не важно). Но тогда достаточно сделать замену переменной $x+a_2x^2+\ldots+a_{n-1}x^{n-1}\equiv w\sim x$ при $x\to0$, и задача сводится к предыдущей.

В принципе, Ньютон на такое вполне был способен. Он хоть формально и не знал, что такое аналитические функции, но фактически их аппарат и использовал.

 Профиль  
                  
 
 Re: Пример из книги В.И.Арнольда
Сообщение21.01.2010, 18:22 
Заслуженный участник


04/05/09
4584
В принципе для любых функций удовлетворяющих условиям $f(0)=g(0)=0, f'(0)=g'(0)=1$ предел равен единице.
Графики функций из нуля выходят параллельно диагонали $y=x$, а графики обратных функций - отражены относительно этой диагонали.
Теперь можно заметить, что верхняя разность - длина вертикального отрезка от $f(x)$ до $g(x)$, а нижняя разность - длина вертикального отрезка от $f'(x)$ до $g'(x)$, что тоже самое, что и длина горизонтального отрезка от $f(x_1)=x$ до $g(x_2)=x$. Т.к. производные равны единице, то $x_1 \approx x_2 \approx x$, и, опять же из-за того, что производные равны единице, длины этих отрезков тоже приблизительно равны. Т.е. предел равен единице.

 Профиль  
                  
 
 Re: Пример из книги В.И.Арнольда
Сообщение21.01.2010, 18:43 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
venco в сообщении #282372 писал(а):
что тоже самое, что и длина горизонтального отрезка от

Убедили. Собственно, до этого я дошёл, но почему-то не догадался заметить, что тот треугольничек равнобедренный.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 5 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group