Пример из книги В.И.Арнольда (предел)

[zabolekar]

Цитата:

Вот пример задачи, которую люди вроде Барроу, Ньютона, Гюйгенса решили бы за считанные минуты и которую современные математики быстро решить, по-моему, не способны (во всяком случае, я ещё не видел математика, который быстро бы с ней справился): вычислить
$\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\sin(\tg(x))-\tg(\sin(x))}{\arcsin(\arctg(x))-\arctg(\arcsin(x))}$

Думал-думал, так и не сообразил, как здесь вычислить предел быстро, да ещё и используя только то, что было во времена Ньютона. Может, у кого-то есть идеи?

[venco]

$\lim\limits_{x\to 0}\frac{\sin(\tg(x))-\tg(\sin(x))}{\arcsin(\arctg(x))-\arctg(\arcsin(x))} = \lim\limits_{x\to 0}\frac{f(x)-g(x)}{g^{-1}(x)-f^{-1}(x)}$ где $f(0) = g(0) = 0, f'(0) = g'(0) = 1$.
Нарисовав графики, можно увидеть, что предел равен $1$.

[ewert]

Чего-то я из графиков ничего не вижу; ну, может, и подслеповат.

А вот откуда единица действительно следует. Если $f(x)=x+a_{n}x^{n}+\ldots$ и $g(x)=x+\widetilde a_{n}x^{n}+\ldots$ (где $a_n\neq\widetilde a_n$), то $f^{-1}(y)=y-a_{n}y^{n}+\ldots$ и $g^{-1}(y)=y-\widetilde a_{n}y^{n}+\ldots$. Тогда, конечно, $\lim\limits_{x\to0}{f(x)-g(x)\over g^{-1}(x)-f^{-1}(x)}=1$.

У нас немного не так; у нас $f(x)=x+a_2x^2+\ldots+a_{n-1}x^{n-1}+a_{n}x^{n}+\ldots$ и $g(x)=x+a_2x^2+\ldots+a_{n-1}x^{n-1}+\widetilde a_{n}x^{n}+\ldots$ при некотором $n>1$ (фактически при $n=7$, но это не важно). Но тогда достаточно сделать замену переменной $x+a_2x^2+\ldots+a_{n-1}x^{n-1}\equiv w\sim x$ при $x\to0$, и задача сводится к предыдущей.

В принципе, Ньютон на такое вполне был способен. Он хоть формально и не знал, что такое аналитические функции, но фактически их аппарат и использовал.

[venco]

В принципе для любых функций удовлетворяющих условиям $f(0)=g(0)=0, f'(0)=g'(0)=1$ предел равен единице.
Графики функций из нуля выходят параллельно диагонали $y=x$, а графики обратных функций - отражены относительно этой диагонали.
Теперь можно заметить, что верхняя разность - длина вертикального отрезка от $f(x)$ до $g(x)$, а нижняя разность - длина вертикального отрезка от $f'(x)$ до $g'(x)$, что тоже самое, что и длина горизонтального отрезка от $f(x_1)=x$ до $g(x_2)=x$. Т.к. производные равны единице, то $x_1 \approx x_2 \approx x$, и, опять же из-за того, что производные равны единице, длины этих отрезков тоже приблизительно равны. Т.е. предел равен единице.

[ewert]

venco в сообщении #282372 писал(а):

что тоже самое, что и длина горизонтального отрезка от

Убедили. Собственно, до этого я дошёл, но почему-то не догадался заметить, что тот треугольничек равнобедренный.