НОД

[baur]

Натуральные числа a,b,c таковы, что числа

$$\frac{bc}{b+c}, \frac{ca}{c+a}, \frac{ab}{a+b}$$

являются целыми. Докажите, что НОД (a,b,c)> 1

[ShMaxG]

Перепишите условие в виде: $\[\left\{ \begin{gathered} \frac{1} {c} + \frac{1} {b} = \frac{1} {k} \hfill \\ \frac{1} {a} + \frac{1} {c} = \frac{1} {m} \hfill \\ \frac{1} {a} + \frac{1} {b} = \frac{1} {l} \hfill \\ \end{gathered} \right.\]$

И рассуждайте от противного.

[baur]

А можете рассказать поподробнее?Заранее спасибо!

[ShMaxG]

При рассуждении от противного разберите случай, когда $a,b,c$ - нечетны. Придете к противоречию. И оставшийся случай, когда кто-то из каждой пары $a,b$, $a,c$ и $b,c$ - четное число. Снова придете к противоречию.

[baur]

Первое мне удалось доказать,а второе не получается.

[ShMaxG]

Второй тоже очень простой. Если из каждой пары кто-то четный, то будет пара, где оба четные. Противоречие с предположением.

[baur]

А понятно спасибо. А что дальше делать?

[ShMaxG]

baur
Ну а что мы доказали?

[baur]

Что все пары четные?

[ShMaxG]

Ну как же, мы же пришли к противоречию!

[baur]

Тогда даже не знаю! Подскажите!

[ShMaxG]

Ну смотрите. Мы доказывали от противного. То есть предположили, что $\text{НОД}(a,b,c)=1$, т.е. что данные числа - взаимно простые. И рассмотрели фактически 2 взаимоисключающих случая, получив противоречие с предположением... Что же следует отсюда?

[baur]

Получается что $\text{НОД}(a,b,c)>1$

[ShMaxG]

Угу.

[Alex_B]

ShMaxG не прав. Задача не решена, так как пока что выяснено, что среди трёх чисел есть пара чётных. Это ещё не означает, что НОД этих трёх чисел отличен от 1.
В моём решении существенно используется положительность чисел a, b и c, таким образом, даже на целые числа напрямую это решение перенести нельзя.
Предположим, что числа a, b и c взаимно простые.
Тогда их можно представить в виде: $a = Ayz, b = Bxz, c = Cxy$,
где x = НОД(b,c), y = НОД(c,a), z = НОД(a,b). Пусть из чисел x, y, z последнее (то есть z) является меньшим из всех. Рассмотрим дробь $\frac{ab}{a+b} = z\frac{AyBx}{Ay+Bx}$. Эта дробь - целое число. Для получения противоречия осталось воспользоваться тем фактом, что НОД(Ay, Bx) = 1.