разложение в ряд Лорана

[aVague]

разложить $\frac{1}{(z^2-1)^2(z^2+4)}$ в ряд Лорана в кольце $1<|z|<2$

что это значит? значит ,что надо сделать замену $w=z-a$, где $a\in (1,2)$?

[ИСН]

Нет. Не надо. Это значит - разложить в ряд Лорана в нуле, сходящийся в таких пределах. Ряд Лорана - это такая шт...
...а, ну его, долго объяснять.

[aVague]

и как определить, сходится ли ряд в этих пределах ?

[AKM]

aVague,
я постараюсь поправить Ваши формулы, но и Вы будьте внимательнее. Ужели Предпросмотр не показывает Вам бардачок?

Закрывающий доллар пропущен:

aVague в сообщении #281722 писал(а):

разложить $\frac{1}{(z^2-1)^2(z^2+4)} в ряд Лорана в кольце 1<|z|<2

[ewert]

aVague в сообщении #281722 писал(а):

что это значит?

Это значит, что неаккуратная формулировка. Подразумевалось, что нужен ряд Лорана по степеням именно $z$. Особые точки функции лежат или на окружности радиуса 2, или на окружности радиуса 1. Поэтому относительно нуля есть три области, где функция раскладывается в ряд Лорана: внутренность круга радиуса 1 (собственно, там получится ряд Тейлора), внешность круга радиуса 2 и кольцо между этими окружностями; вот последнее от Вас и требуется.

А само разложение делается стандартно. Сначала раскладываем дробь на простейшие (только, конечно, относительно переменной $z^2$, а не $z$). Потом каждую из дробей -- как геометрическую прогрессию, только одну -- по положительным степеням, а вторую -- по отрицательным.