тфкп

[terminator-II]

$X$ -- пространство функций голоморфных в круке $|z|<1$.
Пусть $X\ni f(z)=\sum_{k=0}^\infty f_kz^k$. Определим линейный оператор

$$A_\lambda f=\sum_{k=0}^\infty \lambda_kf_kz^k,\quad \lambda=\{\lambda_k\}\in l^\infty.$$

Доказать, что для всякого $s\in (0,1)$ найдутся независящие от $\lambda$ и $f$
числа $s'\in (0,1)$ и $c>0$ такие, что

$$\max_{|z|\le s}|A_\lambda f(z)|\le c \|\lambda\|_{l^\infty}\max_{|z|\le s'}|f(z)|$$

[Полосин]

$$ |A_{\lambda}f(z)|=|\sum_{k=0}^\infty\frac{\lambda_kz^k}{2\pi i}\int\limits_{|t|=s'}\frac{f(t)dt}{t^{k+1}}|\le\frac1{2\pi s'}\int\limits_{|t|=s'}|f(t)||dt|\sum_{k=0}^\infty|\lambda_k|(s/s')^k\le c(s,s')\|\lambda\|_{l^\infty}\max_{|t|=s'}|f(t)| $$

[terminator-II]

угу

[Padawan]

В связи с решением вспомнил понятие мажорантной функции. Функция $F(z)=\displaystyle{\sum\limits_n A_n z^n$ называется мажорантной для функции $f(z)=\displaystyle{\sum\limits_n a_n z^n$, если $A_n\geq 0$ и $|a_n|\leq A_n$ для всех $n=0, 1,2,\ldots$

Если функция $f(z)$ аналитична в замкнутом круге $|z|\leq r$ и $M_r=\max\limits_{|z|\leq r} f(z)$, то часто используется вот такая мажоранта

$$ F(z)=\frac{M_r}{1-\frac zr}$$

которую, по сути, и построил Полосин.