Мат индукция

[kirka7]

Здравствуйте.
Помогите пожалуйста решить задачи методом мат индукции. А то решение в середине "застревает" и
никак к окончательному результату не привести
1.доказать равносильность
1-1/2+1/3...1/(2n-1)-1/2n=1/(n+1)+1/(n+2)+..1/(2n)
2.доказать справедливость неравенства при n>4
2^n>n*n

[gris]

Лучше записать так

$1-\dfrac12+\dfrac13-\cdots+\dfrac1{2n-1}-\dfrac1{2n}=\dfrac1{n+1}+\cdots+\dfrac1{2n}$

и

$2^n>n^2$

И в чём же затруднение? База индукции. Предположение индукции. Шаг индукции.

[kirka7]

БИ
n=5
32>25
ИП
$2^n>n^2$-считаем верным
ИШ
$2^n+1>(n+1)^2$
$2*2^n>n^2+2n+1$

А как дальше это доказывать?

[BapuK]

kirka7 в сообщении #281605 писал(а):

БИ
n=5
32>25
ИП
$2^n>n^2$-считаем верным
ИШ
$2^n+1>(n+1)^2$
$2*2^n>n^2+2n+1$

А как дальше это доказывать?

можно так попробовать:
$2^n*(2)>n^2(1+\frac{2}{n}+\frac{1}{n^2})$
$1\geqslant\frac{2}{n}+\frac{1}{n^2}$
последнее неравенство вроде очевидно, ну можно по индукции снова показать(а можно и не по индукции что будет намного быстрее и проще )

[meduza]

kirka7
Если $2^n>n^2$, то $2\cdot 2^n>2n^2$. Можно доказать, что $2n^2>n^2+2n+1$ для $n>4$ (на самом деле даже при $n>2$). Последнее неравенство можно доказать тоже по индукции, предварительно упростив конечно.

[Xaositect]

ИМХО, проще всего так:
$2^n > n^2 \Rightarrow 2^n\cdot 2 > n^2\cdot (1+\frac{1}{n})^2$

[kirka7]

спасибо.этот пример решен.

помогите с первым заданием. там совсем тьма

[gris]

Так там ещё проще. То же самое БИ, ИП, ШИ
Только начать. В ШИ выписать левую часть выражения и с помощью ИП и манипуляции с тремя дробями, одна из которых находится вначале, а две в конце, насильственно привести левую часть в подобающую форму, то есть в правую часть равенства ШИ.

[kirka7]

как реализуют метод мат индукции я знаю. но "привести левую часть в подобающую форму" у меня не получается.

[gris]

БИ
$n=1$
$1-\dfrac1{2\cdot 1}=\dfrac1{1+1}$ Верно

ПИ
$1-\dfrac12+\dfrac13-\cdots+\dfrac1{2n-1}-\dfrac1{2n}=\dfrac1{n+1}+\dfrac1{n+2}+\cdots+\dfrac1{2n}$

ШИ
$1-\dfrac12+\dfrac13-\cdots+\dfrac1{2n-1}-\dfrac1{2n}+\dfrac1{2n+1}-\dfrac1{2n+2}=\dfrac1{n+2}+\cdots+\dfrac1{2n+2}$
Это ешё надо доказать, поэтому начнём с левой части

$1-\dfrac12+\dfrac13-\cdots+\dfrac1{2n-1}-\dfrac1{2n}+\dfrac1{2n+1}-\dfrac1{2n+2}=$
$\left(1-\dfrac12+\dfrac13-\cdots+\dfrac1{2n-1}-\dfrac1{2n} \right )+\dfrac1{2n+1}-\dfrac1{2n+2}=...$

[kirka7]

правая часть получается
$(\frac {1}{n+1}+\frac {1}{n+2}...+\frac {1}{2n})+\frac {1}{2n+1}+\frac {1}{2n+2}-\frac {1}{n+1}

и левая часть не соответствует правой

[gris]

А зачем первое слагаемое в скобке забыли?

$\left(\dfrac {1}{n+2}+\dfrac {1}{n+3}...+\dfrac {1}{2n}\right)+\dfrac {1}{2n+1}-\dfrac {1}{2(n+1)}+\dfrac {1}{n+1}

А, нет, у Вас тоже правильно. Надо сократить первое и последнее слагаемое

[Профессор Снэйп]

meduza в сообщении #281622 писал(а):

[b]Можно доказать, что $2n^2>n^2+2n+1$ для $n>4$ (на самом деле даже при $n>2$). Последнее неравенство можно доказать тоже по индукции, предварительно упростив конечно.

Зачем индукция?

Имеем квадратичное неравенство $n^2 - 2n - 1 > 0$. Дискриминант равен $8$, корни $1 \pm \sqrt{2}$ и $n^2 -2n - 1$ больше $0$ для всех $n \in (-\infty, 1-\sqrt{2}) \cup (1 + \sqrt{2}, +\infty)$. Этому в школе учат, а потом на ЕГЭ проверяют

[kirka7]

если в скобках ПИ, то оставшиеся члены правой и левойчасти должны быть равны, а выходит

$\left\dfrac {1}{2n+1}-\dfrac {1}{2n+2}=\dfrac {1}{2n+1}\right+\dfrac {1}{2n+2}-\dfrac {1}{n+1}$

[gris]

Индукционное предположение действует для $n$ и начинается с $\dfrac1{n+1}$.
А при переходе к $n+1$ сумма должна уже начинаться с $\dfrac1{n+2}$, а кончатся на $\dfrac1{2n+2}$, что мы и видим.