Непонятное определение

[Sasha2]

Читаю такой текст.
"Из определения плоскости следует, что всякая фигура, равная плоскости, есть плоскость".

Хотелось бы узнать, а вообще, есть ли такая фигура, которая была бы равна другой, и не была бы ею.

Ну в общем, в чем смысл текста, который приводит автор?

[Xaositect]

Возможно, это потому, что иногда в геометрии "равными" называются фигуры, которые можно перевести друг в друга движением. Мне это самому не нравится. В старых учебниках пишут "конгруэнтны".

[Sasha2]

Так а в чем разница то. Ну пусть конгрунтны. Вопрос тот же.

[Xaositect]

Смысл в том, что в определении движения не сказано, что оно переводит плоскости в плоскости, и, вообще говоря, надо доказывать, что образ плоскости есть плоскость, отрезка - отрезок и т.п.

[Sasha2]

А что, есть примеры таких движений, которые фигуру переводят в фигуру, неравную ей?

[Xaositect]

Нет.
Это вопрос того, насколько формально все разжевывать.

Движение есть преобразование пространства, сохраняющее расстояние.
Отрезок есть множество точек, лежащих между двумя данными (концами отрезка)
Точка $C$ лежит между $A$ и $B$, если $|AC| + |BC| = |AB|$.

Из этого можно вывести, что отрезок переходит в отрезок при движении.
С плоскостью похоже, но чуть сложнее, потому что определение плоскости обычно дается в аксиомах, а не явно в терминах расстояний.

[Sasha2]

Тогда, наверно нет никакого смысла утверждать, что что всякая фигура, равная плоскости, есть плоскость, если только доказать, что любые две фигуры, из которых одна получается путем движения другой, равны.

Или это предложение до сих пор не доказано?

[Xaositect]

Sasha2 в сообщении #281179 писал(а):

если только доказать, что любые две фигуры, из которых одна получается путем движения другой, равны.

Это определение равных фигур

[Sasha2]

Ну тогда я вообще запутался. Получается, что автор выдает доказанную теорему, как следствие определения.
Оно, конечно правильно, но не в силу определения.
Наверно правильнее просто говорить, что всякая плоскость при движении переходит в плоскость, хотя и в этом, наверно тоже смысла мало, коли это свойство движения, а не плоскости.

[ewert]

Sasha2 в сообщении #281194 писал(а):

Наверно правильнее просто говорить, что всякая плоскость при движении переходит в плоскость, хотя и в этом, наверно тоже смысла мало, коли это свойство движения, а не плоскости.

Этого недостаточно. Надо ещё доказать, что плоскость переходит во всю плоскость.

Хотя, конечно, всё это ловля блох какая-то.

[gris]

Позволю себе встрять в разговор, вооружившись учебником Погорелова, практически повторяя слова Xaositectа.
Вначале определяется понятие движения, как преобразования плоскости, сохраняющего расстояние. Потом доказывается, что при движении три точки, лежащие на прямой, переходят в точки, лежащие на прямой, причём сохраняется их порядок. Отсюда следует, что при движении прямая переходит в прямую. Потом доказывается равенство углов и т.д.
Уже после этого становится естественным определение равенства фигур как существование движения при котором они совмещаются.
При переходе к пространству аналогично доказывается, что плоскость при движении переходит в плоскость, причём взаимно-однозначно. Затем уже вводится понятие равенства.

В курсах геометрии системы аксиом и порядок определения понятий могут различаться. Если после аксиом плоскости сразу определить понятие равенства через движение, то неочевидно, что это равенство будет означать сохранение всех свойств фигуры. Ведь движение мы только визуально представляем, как перетаскивание жёстких фигур без их деформации, но это же тоже надо доказывать. Движение лишь сохраняет расстояние, но то, что оно сохраняет "форму", надо доказывать.

Попробуйде дать своё определение равенства фигур без всякого движения. Например, для треугольников Погорелов так и делает, а потом доказывает, что оба определения для треугольников равносильны.

[Sasha2]

Вот тут тоже не совсем понятно, а разве форма может не сохраниться, если расстояния между всеми соответствующими точками равны. Да и что в этом случае форма? Точного определения этого понятия нет, а вот скорее всего как подмножество всех неупорядоченных пар точек фигуры вместе с расстояниями между ними, наверно чисто интуитивно и воспринимается нами как форма фигуры.
Может и не так все глубоко то? Ведь уже даже про квадраты нельзя сказать, что всякмй квадрат равен всякому другому, а вот про прямую и про плоскость такое можно сказать. И наверно без всякого движения, например по сравнению площадей. Хотя может и ошибась. Опять в башке путаница. Если идти дальше, где содержательные утверждения, такого не возникает, а вот в самом начале кошмар какой-то и паника мозга.