Задачка не для слабаков (частный случай теоремы Ферма)

[age]

Не пользуясь теоремой Ферма для $n=3$, доказать, что уравнение $x^6+y^6=z^6$
неразрешимо в целых числах.

[mihiv]

$x^6-1+y^6-1=z^6-1-1$.Левая часть делится на 7,а правая нет.

[age]

mihiv
Вы это серьезно?

[mihiv]

Ну,кроме случая $x=y=z=0$.

[age]

mihiv
А случай $x=7p$?

[mihiv]

Да согласен,промашка вышла,это проходит только если 7 делит z или 7 не делит xyz.

[age]

Ввиду отсутствия постов в теме, все либо думают что задача слишком сложна, либо, что автор (т.е. я) ошибся и нашел неправильное решение.

Поэтому, чтоб было интереснее и исключить двусмысленности, дам небольшую подсказку:
Для решения задачи необходимо рассмотреть три случая:
1. Либо $7\ |\ z$, либо $7\not|\ xyz$.
2. $7\ |\ x=2k+1$.
3. $7\ |\ y=2m$.

Первый случай уже рассмотрен mihiv выше.

Случай 2:
1. Пусть $x$- нечетно и делится на $7$. Тогда
$x^6=z^6-y^6=(z+y)(z-y)(z^4+z^2y^2+y^4)$
2. Поскольку $x$ - нечетно, то числа в правой части взаимно просты, а поэтому являются также $6$-степенями:
$\begin{cases} z+y=p^6\\ z-y=q^6\\ z^4+z^2y^2+y^4=x_1^6 \end{cases} $
3. Решая систему первых двух уравнений, находим:
$\begin{cases} 2z=p^6+q^6\\ 2y=p^6-q^6 \end{cases} $
поэтому, если $pq$ не делится на $7$, то $2y=(p^6-1)-(q^6-1)\div7$ по малой теореме Ферма. Но тогда и $y$ также делится на $7$. Поэтому $7\ |\ pq$.
На этом подсказка окончена.

[Коровьев]

age в сообщении #281498 писал(а):

2. Поскольку $x$ - нечетно, то числа в правой части взаимно просты, а поэтому являются также $6$-степенями:

Только если $x$ не делится на три.

[age]

Коровьев
Мерси! В таком случае необходимо выделить случаи 4 и 5:
4. $7\ |\ x$ - нечетно, делится на 3.
5. $7\ |\ y$ - четно, делится на 3.

[Гаджимурат]

age в сообщении #281498 писал(а):

На этом подсказка окончена.

Я даю следующую подсказку.
$z^4+z^2y^2+y^4=x_1^6$ или
$(z^2+y^2)^2=(x_1^3)^2+z^2y^2$ и,зная что для $n=2$
$x_1^3=ab+b^2$
$zy=ab+a^2/2$
$z^2+y^2=ab+b^2+a^2/2$.
а-число четное. Попробуйте решить систему уравнений ,учитывая делимость на 2 и Вы найдете,что $2^5k-a^2$ должна делится на $2^6$ ,где $k$ -число не четное)
Есть и другие варианты.

[age]

Гаджимурат в сообщении #281733 писал(а):

$(z^2+y^2)^2=(x_1^3)^2+z^2y^2$ и,зная что для $n=2$
$x_1^3=ab+b^2$
$zy=ab+a^2/2$

Вот тут не совсем понятно. $n$ же вроде равно $6$? Откуда берется $x_1^3=ab+b^2$? Да и $zy=ab+a^2/2$ непонятно откуда взялось. Что за числа $a,b$?

Ах, ну да, кажется начинаю понимать! Вы рассмотрели уравнение как пифагорову тройку и предложили параметризацию как для сумм квадратов! Но все равно не понятно, откуда взялось
$x_1^3=ab+b^2$
$zy=ab+a^2/2$?
ведь
$x_1^3=a^2-b^2$
$zy=2ab$?

[Гаджимурат]

age в сообщении #281752 писал(а):

Но все равно не понятно, откуда взялось

На этом форуме я показал как выглядит структура чисел $xyz$ для любой простой степени $n$ (при условии,что ур-ние Ф. имеет решение в целых числах и
числа $xyz$ являются его решением), а $n=2$ является простым числом,поэтому полученные ур-ния удовлетворяют и вторую степень,т.есть:
$x=abcm+b^n/n$ (приняли,что $x$ делится на $n$).
$y=abcm+a^n$
$z=abcm+b^n/n+a^n$
Но,для второй и третьей степени $m=1$, а для четных степеней $c=1$,
поэтому для $n=2$
$x=ab+b^2$
$y=ab+a^2/2$
$z=ab+b^2+a^2/2$
Вопросы.

[mihiv]

Доказательство случая 2 $(3\not| x,7|x)$ после подсказки age можно продолжить так:$7|pq$,предположим,что $7|q$,тогда

$$z\equiv y(mod7)\qquad (1)$$

По малой теореме Ферма

$$x_1^6-p^6=z^4+z^2y^2+y^4-(z+y)\equiv 0(mod7)\qquad (2)$$

Заменяя в сравнении (2) z на y ввиду (1),получим $3y^4-2y=y(3y^3-2)\equiv 0(mod7)$,отсюда $3y^3-2=3(y^3-1)+1=3(y^3+1)-5\qquad (3)$ делится на 7.
С другой стороны $y^6-1=(y^3-1)(y^3+1)$ делится на 7,поэтому на 7 делится $(y^3+1)$ или $(y^3-1).$Сравнивая с (3), получаем противоречие.
Случай $7|p$ рассматривается аналогично.

[Гаджимурат]

mihiv в сообщении #281969 писал(а):

Заменяя в сравнении (2)

Можно еще короче: $3y^3-2$ или $9y^6-4$ делится на $7$,но
$y^6-1$ делится на 7,то и $9-4=5$, т.есть $5$ делится на $7$-противоречие найдено.

[grisania]

age в сообщении #281110 писал(а):

Не пользуясь теоремой Ферма для $n=3$, доказать, что уравнение $x^6+y^6=z^6$
неразрешимо в целых числах.

Если использовать представления через пифагоровы тройки, то решение отнюдь не простое.
Смотри Lemm 5.1
http://www.afjarvis.staff.shef.ac.uk/maths/jarvismeekin08-fermat-jnt3079.pdf