l_p

[nckg]

Padawan в сообщении #279688 писал(а):

В *-слабой топологии. А надо в сильной.

Согласен.

Попробуем тогда так: пусть $1<p<r<\infty$, $A\colon \ell_r\to \ell_p$.

Лемма 1. Для любой слабо сходящейся к нулю последовательности $(y_n)\subset \ell_p$, удовлетворяющей условию $\|y_n\|_p >c>0$, существует подпоследовательность $(y_{n_k})$, такая, что для любого $N\in \mathbb N$

$$\|\sum_{k=1}^N y_{n_k}\|_p^p \geqslant N (\frac12 c)^p.$$

(грубо говоря это следует из того, что на любом конечномерном подпространстве $(y_n)$ сходится к нулю сильно, и поэтому можно выбрать подпоследовательность, "носители" элементов которой не пересекаются, а "остатки" в сумме дают малый довесок, от которого можно избавиться с помощью неравенства $\|a+b\|\geqslant \bigl|\|a\|-\|b\|\bigr|$)

Лемма 2. Для любой последовательности $(y_n)\subset \ell_p$ справедливо неравенство

$$ \|\sum_{i=1}^N y_i\|_p^p\leqslant \sum_{i=1}^N \|y_i\|_p^p. $$

(это следует из неравенства $|a+b|^p\leqslant |a|^p + |b|^p$, применённого к каждой компоненте последовательности $y=\sum_{i=1}^N y_i$)

Теперь доказательство.

1) Пусть $(x_n)\subset \ell_r$ --- слабо сходящаяся к 0 последовательность. Тогда $(A x_n) \subset \ell_p$ тоже слабо сходится к нулю и достаточно показать, что $A x_n \to 0$ сильно в $\ell_p$. Пусть это не так.

2) При необходимости переходя к подпоследовательности, имеем: $\|A x_n\|_p>c>0$.
Поскольку $x_n\to 0$ слабо, $\|x_n\|_r \leqslant C$.

3) Из леммы 1 следует, что для некоторой подпоследовательности $(x_{n_k})$ для $N\in \mathbb N$

$$\| \sum_{k=1}^N A x_{n_k} \|_p \geqslant (c/2) N^\frac1p$$

С другой стороны,

$$\| \sum_{k=1}^N A x_{n_k} \|_r \leqslant \|A\| \| \sum_{k=1}^N x_{n_k} \|_r \leqslant $$

(по лемме 2)

$$\leqslant \left(\sum_{k=1}^N \| x_{n_k} \|_r^r \right)^\frac1r \leqslant C N^\frac1r$$

В итоге имеем: $(c/2) N^\frac1p \leqslant \|A\| C N^\frac1r$, откуда при $N\to \infty$ получаем противоречие, т.к $\frac1p>\frac1r$.

P.S. Идея взята отсюда. Длинновато получилось, правда.

[Padawan]

nckg в сообщении #280471 писал(а):

Лемма 2. Для любой последовательности $(y_n)\subset \ell_p$ справедливо неравенство

$$ \|\sum_{i=1}^N y_i\|_p^p\leqslant \sum_{i=1}^N \|y_i\|_p^p. $$

(это следует из неравенства $|a+b|^p\leqslant |a|^p + |b|^p$, применённого к каждой компоненте последовательности $y=\sum_{i=1}^N y_i$)

Неравенство $|a+b|^p\leqslant |a|^p + |b|^p$ справедливо при $0<p\leq 1$. Так что эта лемме не верна. Лемма 1 хорошая.

[nckg]

Согласен, лемма 2 верна только при $0< p \leqslant 1$.

Исходная задача при $r>p>1$ сводится к случаю $p<r<1$.

Действительно, оператор $A\colon \ell_r \to \ell_p$ компактен iff сопряжённый оператор $A^* \colon \ell_{p'} \to \ell_{r'}$ компактен (теорема Шаудера). Т.к. $r>p>1$ то $r'<p'<1$.
Переобозначив $A\leftrightarrow A^*$ $p\leftrightarrow r'$ и $r \leftrightarrow p'$ получаем:
Доказать, что всякий ограниченный линейный оператор $A\colon \ell_r \to \ell_p $ при $p<r<1$ компактен, т.е. то, что доказано выше.

[ewert]

nckg в сообщении #280755 писал(а):

Т.к. $r>p>1$ то $r'<p'<1$.

То $1<r'<p'$.

[Padawan]

По-моему, надо как-то изменить вышеприведенное доказательство. Оно похоже на правду.

[nckg]

ewert в сообщении #280781 писал(а):

То $1<r'<p'$.

И правда. Похоже что я единицу с двойкой перепутал

Padawan в сообщении #280808 писал(а):

По-моему, надо как-то изменить вышеприведенное доказательство. Оно похоже на правду.

Я думаю, что надо уточнить, что имеет место
Лемма 3
Для любой слабо сходящейся к нулю последовательности $(y_n)\subset \ell_p$, удовлетворяющей условию $\|y_n\|_p \leqslant C>0$, существует подпоследовательность $(y_{n_k})$, такая, что для любого $N\in \mathbb N$

$$\|\sum_{k=1}^N y_{n_k}\|_p^p \leqslant N (\frac32 C)^p.$$

Доказательство такое же как у леммы 1, только вместо неравенства $\|a+b\|\geqslant \bigl|\|a\|-\|b\|\bigr|$ нужно использовать неравенство $\|a+b\|\leqslant \|a\|+\|b\|$

Тогда сначала нужно применить лемму 3 к последовательности $x_n$ и только потом применить лемму 1 к полученной подпоследовательности $A x_{m_k}$

[Padawan]

Вот и доказали! Красиво получилось. Только в лемме 3 надо добавить слова "и для любой её подпоследовательности".

[nckg]

Согласен, спасибо за бдительность:)

[terminator-II]

присоединяюсь к поздравлениям