Получить пятёрку из двух двоек

[General]

На конкурсе IBM Ponder This задача января.

Получите пятёрку из двух двоек. Можно использовать любые математические функции и операторы и ровно две константы, равные двум.

введены ограничения: нельзя использовать функции округления, взятия целой части, округления вверх. Использование квадратного корня равноценно использованию одной двойки. Нельзя использовать переменные, например, так не разрешено:(x+x+x+x+x)/x

[worm2]

Цитата:

...squaring will cost you one "2"...

General писал(а):

Использование квадратного корня равноценно использованию одной двойки.

Правильно ли здесь переводить "squaring" как "извлечение квадратного корня" ? По-моему, "squaring" переводится только как "возведение в квадрат", и поэтому использование квадратного корня не должно нам ничего стоить.

[gris]

А можно ли использовать кратные факториалы и функции, типа количество простых, не превышающих аргумент? Арктангенс можно, вроде бы. А константу $\pi$?

[meduza]

General в сообщении #280713 писал(а):

Нельзя использовать переменные, например, так не разрешено:(x+x+x+x+x)/x

А связанные переменные (в суммах, интегралах) тоже нельзя? А производную?

(Оффтоп)

Если можно, то $\sum\limits_{k=\cos \frac {d(2)}{dx}}^2 k^k=5$

P. S. Вообще не очень корректное задание, ведь непонятно, можно ли, например, использовать $\ln$ (в неявном виде содержится $e$), экспоненту, знак бесконечности,... Кроме того, "composition of commonly used mathematical functions and field operators" можно понимать в очень широком смысле: к примеру, $\pi$-функция распределения простых чисел сюда подходит? А функция знака $\operatorname{sgn} x$ (с помощью нее можно легко получить $1=\operatorname{sgn} 2$, $0=\arccos \operatorname{sgn} 2$)? Знак минус --- тоже умножение на $-1$ в неявном виде и т. д...

[Sonic86]

inc(2+2), где inc(x)=x+1
Кто же так задание формулирует!?

[worm2]

meduza писал(а):

можно ли, например, использовать $\ln$ (в неявном виде содержится $e$), экспоненту, знак бесконечности,...

Исходя из здравого смысла, то раз уж они написали, что можно даже гиперболический арктангенс, то натуральный логарифм и экспоненту и подавно можно.
А знак бесконечности, очевидно, считается за константу, иначе из него можно легко извлечь константу, поделив её на себя получить единицу, и всё на халяву: тогда можно вообще без единой двойки обойтись

[meduza]

Если бы они просто перечислением указали всё, что можно использовать, то задание было бы инетерсным, а так -- бессмысленные гадания.

[General]

Про функцию, дающую следующее в натуральном ряду число я подумал, но не использовал, т.к. это было бы слишком просто. Сигнум использовал, когда получил вариант с двумя цифрами 2:

(Оффтоп)

sgn(2)/.2

//помнится, как-то была дискуссия о преимуществах американской нотации.

Сам я из двух двоек получил пять, пользуясь тремя функциями.

[Батороев]

Магия и никакого мошенничества.
Магическая константа нормального волшебного квадрата: $M(2)=5$.
План по экономии двоек перевыполнен!
Только жаль, что такого магического квадрата 2х2 не бывает.

[venco]

Мне кажется, они имели в виду функции, вычислимые на среднем научном калькуляторе: $cos(atan(2))^{-2}$

[meduza]

venco
Умно . Действительно, в триг. тождествах часто встречается $x^2+1$...

[General]

Красиво!
Я пошёл через факториалы, функцию Эйлера и количество делителей числа:
$\theta(\phi(\phi(\theta(\phi((2+2)!)!))))=5$

[meduza]

General
С использованием специальных функций всё проще, всегда можно какую-нибудь функцию подходящую найти и под пятерку подогнать.

(Оффтоп)

Навскидку с использованием $\pi$-функции числа простых чисел: $\pi(\tg \tg \tg 2)+2$

А вот, если только элементарные функции использовать -- там уже интересно.

[Circiter]

2venco

Цитата:

Мне кажется, они имели в виду функции, вычислимые на среднем научном калькуляторе: $cos(atan(2))^{-2}$

Вот, тоже самое, но с использованием лишь двух двоек без знака минус (на случай если к неявному умножению на $-1$ "прикопаться" можно):

$$(\tg\circ\arcctg\circ\cos\circ\arctg\ 2)^2=5.$$

Применены тождества $\cos\circ\arctg\ x=1/\sqrt{1+x^2}$ и $\tg\circ\arcctg\ x=1/x$, композицию считать правоассоциативной.

[venco]

Можно было бы и секанс использовать, но обычно на калькуляторах нет ни котангенса, ни секанса.