Множество на отрезке

[Юстас]

Возможно, эта задача раньше и всплывала на форуме, всё же напишу условие ещё раз. Итак, задача: какую меру может иметь открытое всюду плотное множество на отрезке [0,1]?

[Руст]

Любую положительную.
Так как рациональные числа всюду плотны и их счётное количество, занумеруем их и около n - го выберем окрестность длиной $\frac{c}{2^n}$. Объединение по всем n=1,2,... открытое всюду плотное множество с мерой не превосходящей с.
Можно построить Канторовым процессом, имеющую точную меру с, для любого с>0.

[Юстас]

Да, такую конструкцию я и имел в виду. Что Вы подразумеваете под "Канторовым процессом"? Стандартный алгоритм построения несчетного множества меры нуль?

[Руст]

Под Канторовом процессом я понимаю процесс, когда в первом шаге из середины интервала выкидывается некоторый интервал например длины a1, далее из оставшихся интервалов из середин выкинем интервалы с общей суммой a2, и т.д. При этом легко выбрать длины выкинутых интервалов так, чтобы они между собой не пересекались и сумма всех сходилась к заданной величине.

[Sasha2]

А не нужно ли еще показать, что все эти окрестности не будут пересекаться?

[Руст]

При таком построении не будет пересечений, пока частичная сумма выкинутых интервалов меньше 1.

[Sasha2]

Ну непонятно, если число c равно, например 100, то как около первого рационального выбрать окрестность равную 50, чтобы не было пересечений.

[Руст]

Я имею в виду Канторовый процесс, когда при каждом шаге допонительные интервалы в нашем случае выкидываются с середины. Поэтому, если сумма длин выкинутых меньше 1 следует, что пересечений нет.

[Sasha2]

Ну какая разница, какой процесс, вот я задал ворос четко.
Число c=100, как построить окрестность, такую, чтобы с дргими не пересекалась.

[PAV]

Sasha2 писал(а):

А не нужно ли еще показать, что все эти окрестности не будут пересекаться?

Не нужно. Объединение любого числа открытых множеств - открытое, так что пусть себе пересекаются.

[Sasha2]

Ну при таком подходе мера некотрого подмножества отрезка [0, 1] может быть больше его длины, т.е мера части множества превосходит меру всего множества, что действительно так?

[PAV]

Sasha2 писал(а):

Ну при таком подходе мера некотрого подмножества отрезка [0, 1] может быть больше его длины, т.е мера части множества превосходит меру всего множества, что действительно так?

Нет, конечно, не так.

Я не совсем прав, о пересечениях мы можем не заботиться, но тогда получим открытое множество меры $\le c$. Чтобы получить меру, равную заданному числу, нужно, конечно, чтобы пересечений не было.

[Руст]

2 Sasha2. Хватит прикидываться. Я ясно объяснил, что если частичные суммы в Канторовом построении меньше 1 нет пересечений. А вы всё задаёте, а если с=100 (т.е. интервал в первом шаге длиной 100), что уже в первом шаге дает больше 1.

[Sasha2]

Для Руст

Ну так Вы же сами декларируете любое положитеоьное число c.
Объявите любое c не большее 1 и все проблемы снимутся.

[surfer]

Возможно ли что всюду плотное множество на отрезке имеет меру 0?