Ряды

[kisi-musi]

помогите, пожалуйста, определить сходимость ряда.

$\sum_{n=1}^{\infty}{\frac {n*lnn} {{n^2}-3}}$

[ShMaxG]

kisi-musi
Примените признаки сравнения и интегральный.

[kisi-musi]

а с каким рядом его сравнить скажите пожалуйста?

[ShMaxG]

Ну, должно быть понятно, что $\[\frac{{n \cdot \ln n}} {{{n^2} - 3}} \sim \frac{{n \cdot \ln n}} {{{n^2}}},n \to \infty \]$, а к этому применяйте интегральный признак.

Возможно, я не аккуратно назвал это признаком сравнения, не знаю как он называется. Это даже не признак. Сходимость получившегося ряда такая же, как и у эквивалентного.

[Sasha2]

Можно и проще.
Откиньте логарифм, от этого ряд только уменьшится, начинаяс к некоторого номера.
А затем сравните то, что осталось, с явно расходящимся гармоническим рядом.

[kisi-musi]

$\[\frac{{n \cdot \ln n}} {{{n^2} - 3}} \sim \frac{{n \cdot \ln n}} {{{n^2}}}\sim\frac{{ln n}} {{{n}}}, n \to \infty \]$

$\int_{1}^{\infty}{\frac {lnx} {x}}$
делаем замену lnx=t, dx/x=dt, t1=ln1=0, t2= бесконечность

получим
$\int_{0}^{\infty}{tdt}=\frac {t^2} {2}=\infty - 0=\infty$
ряд расходится, следовательно и исходный ряд расходится.
Верно?

[ShMaxG]

kisi-musi
Да, верно.

Кстати, можно было пользоваться не эквивалентностью, а сравнением $\[\frac{{n\ln n}} {{{n^2} - 3}} \geqslant A\frac{{n\ln n}} {{{n^2}}}\] $, где $A$ взять равным $1/2$, что выполняется для любых $n$.

[kisi-musi]

спасибо за помощь, а то с рядами очень плохо, ну очень плохо.