УМФ. Смешанная задача. Уравнение гиперболического типа.

[denbudko]

Доброго времени суток.
Прошу вашей помощи в решении такой задачи:
$u_t_t+u_t=u_x_x$
$u(0,t)=t, u(1,t)=0; $
$u(x,0)=0, u_t (x,0)=1-x;$

Очевидно необходима замена $u(x,t)=v(x,t)+w(x,t)
$v(x,t)=u(x,t)-w(x,t) такая, что-бы
$v_t_t+v_t=v_x_x$ и начальные условия приняли более "красивый" вид
Помогите найти ф-ю $w(x,t)$

[ewert]

Пожалуйста: $w=t(1-x)$. Правда, само уравнение при этом станет неоднородным, но тут уж ничего не поделаешь, и это несмертельно.

[denbudko]

В с лучае этой замены получим $v_t_t+v_t=v_x_x+x-1$
Все нач условия в 0.
А как быть с неоднородным уравнением? Разделение переменных не проходит, какие есть др. способы?

[ewert]

Разложение в ряд Фурье по собственным функциям задачи Штурма-Лиувилля. Ничего принципиально нового там не будет, просто дифуравнения по времени для коэффициентов Фурье станут неоднородными; ну и что.

Только сначала, конечно, нужно убить первую производную по времени (в волновом уравнении) домножением на экспоненту.

[denbudko]

ewert в сообщении #280217 писал(а):

Только сначала, конечно, нужно убить первую производную по времени (в волновом уравнении) домножением на экспоненту.

Вы не могли бы показать этот момент подробнее.
PS Заранее извиняюсь, если моя просьба нарушает правила раздела.

[ewert]

ну, подставьте в уравнение $v(x,t)=y(x,t)\cdot e^{\alpha t}$ и подберите $\alpha$ так, чтобы первая производная игрека по времени сократилась. А потом разделите всё на оставшуюся экспоненту.

[denbudko]

ewert Спасибо за помощь!