Задача математического программирования

[just_roma]

Есть задача \[ y \to \sup \] \[ \left\{ \begin{aligned} &\sum_{i = 1}^{n}a_{i}^{-}x_{i} \leq z \leq \sum_{i=1}^{n}a_{i}^{+}x_{i} \\ &f(z,y) \geq \alpha \\ &x \in X \\ \end{aligned} \right. \] про $f(z,y)$ известно, что она ограниченная непрерывная вогнутая (или квази-вогнутая) функция двух переменных; множества Лебега, задаваемые $f(z,y) \geq \alpha$, являются компактами и они не пусты; $X \subset E^{n}$ - компакт; $x \in X$, $z,y \in E^{1}$; параметры $a^{\pm}_{i}$ такие, что $a^{-}_{i} \leq a^{+}_{i}$. Вопрос в следующем, можно ли найти решение этой задачи в форме \[ y = g(\sum_{i=1}^{n}a^{*}_{i}x_{i}), x \in X, \] где $a^{-}_{i} \leq a^{*}_{i} \leq a^{+}_{i}$, $g(\cdot)$ будет непрерывной, желательно, монотонной и удовлетворять условию Липшица? Какие для этого нужно наложить условия на $f(\cdot,\cdot)$? Помогите, люди добрые. P.S. Заранее благодарен. P.P.S. Прошу прощение за дублирование. Предыдущее сообщение поместил не в тот раздел.

[reader_st]

Могу высказать лишь идеи:
1) Вряд ли Вы решите данную задачу аналичитески, при конкретных числах.
2) Если функция непрерывна, то она удовлетворяет условию Липшиша.

Советую посмотреть книгу Васильева "Численные методы решения экстремальных задач"

[just_roma]

Здравствуйте, я конечно же в первую очередь посмотрел книгу Васильева. Однако, там я ничего полезного для решения этой задачи не нашел (возможно не там искал). Единственное, что пока пришло мне в голову,- это предположить, что функция $f(\cdot, \cdot)$ имеет следующий вид \[ f(x,y) = f_{1}(x) + f_{2}(y), \] где $f_{1}(\cdot), f_{2}(\cdot)$ - непрерывные строго убывающие функции, и кроме того $f_{1}(\cdot)$ и $f_{2}^{-1}(\cdot)$ удовлетворяют условию Липшица, тогда (если я нигде не ошибся) решение этой задачи будет иметь следующий вид \[ y^{*} = \sup_{x \in X}f_{2}^{-1}(\alpha - f_{1}(\sum_{i=1}^{n}a_{i}^{-}x_{i})). \] Понятно, что это очень примитивно, возможно кто-нибудь из корифеев математики может предложить более правильное, что ли, решение.

[незваный гость]

незваный гость:

Избегайте, пожалуйста, помещать весь текст в тег [math]. Это затрудняет цитирование (особенно частичное) и форматирование, увеличивает трафик. Используйте тег для формул!

[just_roma]

Неужели на мехмате не найдется человека, который мог бы дать
хоть сколько-нибудь дельный совет

[just_roma]

Может хоть подскажите на каких форумах можно задать подобный вопрос
и получить вразумительный ответ или ссылки на литературу. Буду очень признателен.
Sincerely yours, Roma.

[just_roma]

reader_st писал(а):

Могу высказать лишь идеи:
2) Если функция непрерывна, то она удовлетворяет условию Липшиша.

А мне всегда казалось, что непрерывности недостаточно. Если не ошибаюсь необходимо, чтобы производная на множестве определения функции была конечной. Поправте если я не прав.

[reader_st]

Что касается непрерывности, то доказательство следует сразу из теоремы Лейбница. Конечность производной на множестве подразумевается.

[reader_st]

just_roma
У Васильева есть еще одна книга по решению экстремальных задач. К сожалению, я не помню как она называется (могу сказать только в сентября), но насколько я помню, речь там идет о решении указанных задач в различных функциональныз простравнствах. Извините, за нечеткость.

[just_roma]

reader_st писал(а):

just_roma
Васильева есть еще одна книга по решению экстремальных задач. К сожалению, я не помню как она называется (могу сказать только в сентября), но насколько я помню, речь там идет о решении указанных задач в различных функциональныз простравнствах...

А кроме Васильева неужеле этими проблемами никто не занимался. Может подскажите
другие книги. А то очень уж мне надо и в короткие сроки. С уважением к Вам, Роман.

[reader_st]

Уважаемый Роман. Ваша задача имеет особенности некоторые особенности. Например, Вы ее не решаете хотя бы численно, а пытаетесь найти аналитическое решение, удовлетворяющее условиям --- это очень трудно. Например, для выполнения условия Липциша достаточно взять две непр. монотонные, на указанном множестве функции, и рассмотреть их композицию --- она также будет удовлетворять указанному условию. Также у Вас очень сложно устроена ОДЗ.
Насчет других авторов --- посоветовать ничего не могу. Все задачи математим. программирования обычно в книгах решают именно численными методами.

[reader_st]

Еше вопрос: как связана функция f(z,y) и целевая функция y. Почему Вы решили, что f() должна удовлетворять условию Липшица, если она входит в ограничения? Что бы задача имела на sup имела единственное решение необходимо чтобы ОДЗ образ. компакт (т. Вейерштр.). У Вас это выполняется --- если нет, то на f() наложить дифф.

[reader_st]

Уважаемый Роман.

Я так понял Ваша задача относится к вариационному исчислению (поправьте, если не прав). Вот посмотрел в своей библиотеке. По-моему, можно посмотреть след. источники:

“Прикладной функциональный анализ” А.В. Балакришнан
“Методы решения задач по функциональному анализу” В.В. Городецкий и др.
“Функциональный анализ и вычислительная математика” В.И. Лебедев

Если не ошибаюсь, эти книги есть в местной библиотеке.

[just_roma]

reader_st писал(а):

Я так понял Ваша задача относится к вариационному исчислению

Конечно я не очень продвинут в математике, как я себе это представляю, это задача нелинейного программирования, причем даже выпуклого. Я просмотрел книги вроде Зангвилл Нелинейное программирование Единый подход, Васильев Численные методы решения экстремальных задач (1988) и Методы решения экстремальных задач (1989), но ответа на вопос, - можно ли найти решение в виде непрерывной функции, так и не нашел. Если вы поделитесь со мной какими-нибудь соображениями на этот счет, буду Вам очень признателен. С уважением, Роман.

[just_roma]

reader_st писал(а):

как связана функция f(z,y) и целевая функция y.

Целевая функция у меня очень простая это линейная функция g(y)=y, y \in R^{1}$, соответственно y является вторым аргументом f(z,y). т.е. для каждого фиксированного z y будет ограничена некоторым отрезком (т.к. f(z,y) как минимум квазивогнутая и непреравная) ну вот и все