reader_st писал(а):
Я так понял Ваша задача относится к вариационному исчислению
Конечно я не очень продвинут в математике, как я себе это представляю, это задача нелинейного программирования, причем даже выпуклого. Я просмотрел книги вроде Зангвилл Нелинейное программирование Единый подход, Васильев Численные методы решения экстремальных задач (1988) и Методы решения экстремальных задач (1989), но ответа на вопос, - можно ли найти решение в виде непрерывной функции, так и не нашел. Если вы поделитесь со мной какими-нибудь соображениями на этот счет, буду Вам очень признателен. С уважением, Роман.
13.07.2006, 11:39 
![Есть задача
\[
y \to \sup
\]
\[
\left\{
\begin{aligned}
&\sum_{i = 1}^{n}a_{i}^{-}x_{i} \leq z \leq \sum_{i=1}^{n}a_{i}^{+}x_{i} \\
&f(z,y) \geq \alpha \\
&x \in X \\
\end{aligned}
\right.
\]
про $f(z,y)$ известно, что она ограниченная непрерывная вогнутая (или квази-вогнутая)
функция двух переменных; множества Лебега, задаваемые $f(z,y) \geq \alpha$,
являются компактами и они не пусты; $X \subset E^{n}$ - компакт;
$x \in X$, $z,y \in E^{1}$; параметры $a^{\pm}_{i}$
такие, что $a^{-}_{i} \leq a^{+}_{i}$.
Вопрос в следующем, можно ли найти решение этой задачи в форме
\[
y = g(\sum_{i=1}^{n}a^{*}_{i}x_{i}), x \in X,
\]
где $a^{-}_{i} \leq a^{*}_{i} \leq a^{+}_{i}$, $g(\cdot)$ будет непрерывной,
желательно, монотонной и удовлетворять условию Липшица? Какие для этого нужно
наложить условия на $f(\cdot,\cdot)$? Помогите, люди добрые.
P.S. Заранее благодарен.
P.P.S. Прошу прощение за дублирование.
Предыдущее сообщение поместил не в тот раздел.](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/3/3/233b65d17e1c07d9c3c713d32d54d61382.png "Есть задача
\[
y \to \sup
\]
\[
\left\{
\begin{aligned}
&\sum_{i = 1}^{n}a_{i}^{-}x_{i} \leq z \leq \sum_{i=1}^{n}a_{i}^{+}x_{i} \\
&f(z,y) \geq \alpha \\
&x \in X \\
\end{aligned}
\right.
\]
про $f(z,y)$ известно, что она ограниченная непрерывная вогнутая (или квази-вогнутая)
функция двух переменных; множества Лебега, задаваемые $f(z,y) \geq \alpha$,
являются компактами и они не пусты; $X \subset E^{n}$ - компакт;
$x \in X$, $z,y \in E^{1}$; параметры $a^{\pm}_{i}$
такие, что $a^{-}_{i} \leq a^{+}_{i}$.
Вопрос в следующем, можно ли найти решение этой задачи в форме
\[
y = g(\sum_{i=1}^{n}a^{*}_{i}x_{i}), x \in X,
\]
где $a^{-}_{i} \leq a^{*}_{i} \leq a^{+}_{i}$, $g(\cdot)$ будет непрерывной,
желательно, монотонной и удовлетворять условию Липшица? Какие для этого нужно
наложить условия на $f(\cdot,\cdot)$? Помогите, люди добрые.
P.S. Заранее благодарен.
P.P.S. Прошу прощение за дублирование.
Предыдущее сообщение поместил не в тот раздел.")
![Здравствуйте, я конечно же в первую очередь посмотрел книгу
Васильева. Однако, там я ничего полезного для решения этой
задачи не нашел (возможно не там искал). Единственное, что пока
пришло мне в голову,- это предположить, что функция $f(\cdot, \cdot)$
имеет следующий вид
\[
f(x,y) = f_{1}(x) + f_{2}(y),
\]
где $f_{1}(\cdot), f_{2}(\cdot)$ - непрерывные строго убывающие функции, и кроме
того $f_{1}(\cdot)$ и $f_{2}^{-1}(\cdot)$ удовлетворяют условию Липшица, тогда (если я
нигде не ошибся) решение этой задачи будет иметь следующий вид
\[
y^{*} = \sup_{x \in X}f_{2}^{-1}(\alpha - f_{1}(\sum_{i=1}^{n}a_{i}^{-}x_{i})).
\]
Понятно, что это очень примитивно, возможно кто-нибудь из корифеев математики
может предложить более правильное, что ли, решение.](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/e/7/3e73fb9e96856b026e655078a93f781582.png "Здравствуйте, я конечно же в первую очередь посмотрел книгу
Васильева. Однако, там я ничего полезного для решения этой
задачи не нашел (возможно не там искал). Единственное, что пока
пришло мне в голову,- это предположить, что функция $f(\cdot, \cdot)$
имеет следующий вид
\[
f(x,y) = f_{1}(x) + f_{2}(y),
\]
где $f_{1}(\cdot), f_{2}(\cdot)$ - непрерывные строго убывающие функции, и кроме
того $f_{1}(\cdot)$ и $f_{2}^{-1}(\cdot)$ удовлетворяют условию Липшица, тогда (если я
нигде не ошибся) решение этой задачи будет иметь следующий вид
\[
y^{*} = \sup_{x \in X}f_{2}^{-1}(\alpha - f_{1}(\sum_{i=1}^{n}a_{i}^{-}x_{i})).
\]
Понятно, что это очень примитивно, возможно кто-нибудь из корифеев математики
может предложить более правильное, что ли, решение.")
, соответственно y является вторым аргументом f(z,y). т.е. для каждого фиксированного z y будет ограничена некоторым отрезком (т.к. f(z,y) как минимум квазивогнутая и непреравная) ну вот и все