Монотонная огр. функция с бесконечным числом разрывов

[blackmail1807]

Требуется построить пример функции, монотонной и ограниченной на отрезке, имеющей на нем бесконечное число разрывов.

Пока что мне кажется, что это невозможно, потому что бесконечное число разрывов требует бесконечной малости скачка на каждом из них, т. е. никаких разрывов и нет...

[jetyb]

Можно взять такие разрывы, чтобы приращения на них образовывали абсолбтно сходящийся ряд. Например, определим функцию так:
0 на $[0;\frac{1}{2})$
$\frac{1}{2}$ на $[\frac{1}{2};\frac{3}{4})$
$\frac{3}{4}$ на $[\frac{3}{4};\frac{7}{8})$
$\frac{7}{8}$ на $[\frac{7}{8};\frac{15}{16})$
и т.д.

Непрерывность в каждой точке интервала легко проверяется.

[gris]

Монотонная функция может иметь не более, чем счётное число разрывов. Может быть Вы это имели в виду?

Прекрасна монотонная функция, разрывная в каждой рациональной точке.

[blackmail1807]

Вероятно. Просто у нас не было понятия счетного множества и все такое) поэтому такие примеры в голову не приходят...

-- Вт янв 12, 2010 19:16:09 --

gris в сообщении #279821 писал(а):

Прекрасна монотонная функция, разрывная в каждой рациональной точке.

А такой пример можно придумать?

[gris]

Можно. Если идею jetybа распространить на все рациональные числа отрезка некоторым образом. Пример известный.

[blackmail1807]

Пример с разрывами во всех рац. точках я конечно знаю. Но ведь рациональные числа отрезка - это не счётное множество, а значит монотонной функции такого рода не придумать. Или я снова неправ?

[tori]

Это вы часом не о ф-и Римана?

-- Вт янв 12, 2010 19:32:59 --

blackmail1807 в сообщении #279834 писал(а):

Пример с разрывами во всех рац. точках я конечно знаю. Но ведь рациональные числа отрезка - это не счётное множество, а значит монотонной функции такого рода не придумать. Или я снова неправ?

А, по-моему, тоже счётное.

[gris]

blackmail1807, а если Вы знаете, то чего же спрашивали? Рациональных точек на отрезке как раз бесконечное множество (уж не будем о счётности)

[blackmail1807]

Извиняюсь, рациональное множество действительно счетное) Функция Римана очевидно не монотонная, но если множество счетное, то механизм построения ответа вроде понятен (как у jetyb).
Тогда спасибо всем огромное!

-- Вт янв 12, 2010 19:40:35 --

gris в сообщении #279841 писал(а):

blackmail1807, а если Вы знаете, то чего же спрашивали? Рациональных точек на отрезке как раз бесконечное множество (уж не будем о счётности)

Риман же не монотонный)

[gris]

А, ну да, Вы о произвольной функции.
Всё-же обрадую Вас - рациональных точек на всей оси счётное множество.

Функция Римана не монотонная. Но можно постоить монотонную.

Можно взять сходящуюся геометрическую последовательность и перенумеровать её члены. И перенумеровать все рациональные числа на отрезке. А потом...

[blackmail1807]

Да, я уже понял, спасибо!)