Вычислить предел с помощью формулы Тейлора

[Pormonik]

Привет друзья!Вот,с вашей помощью пытаюсь постичь азы матАна,заранее простите меня за мою непонятливость,не дается мне матиматика)Но я стараюсь).Сейчас от меня требуется вычислить предел с помощью формулы Тейлора.Сами формулы я приблизительно знаю,но прежде требуется сделать какие то преобразования.Моя мысль,это произвести замену $t=x-1$.А вот дальше не знаю...что скажите?Заранее огромное спасибо!)

$$\lim\limits_{x\to 1}\frac{2xe^{x-1}-x^3-x}{ {(x-1)}^3}$$

[Cave]

Мысль верная.
Дальше расписать предел через $t$ и собственно применить формулу Тейлора. Кандидат на применение один - экспонента.

[meduza]

Pormonik в сообщении #279620 писал(а):

А вот дальше не знаю

Дальше раскладываете в ряд Маклорена. Но тут даже думать не дадо. Выражение $(t+1)^3$ просто раскрываются по биному Ньютона. $e^t$ -- стандартное разложение, умножьте каждый член на $2(t+1)$, приведите подобные и посмотрите что осталось.

[AKM]

Pormonik в сообщении #279620 писал(а):

...но прежде требуется сделать какие то преобразования.
Моя мысль,это произвести замену $t=x-1$.

А что действительно в условии сказано "прежде сделать какие то преобразования"? Или Вы это сами придумали?
Ежели сами, то не произвести ли эту замену? Мне эта мысль кажется плодотворной. По крайней мере, про ноль легче думать, чам про единицу. Как-то нагляднее всё оказывается.
Ну, и коли Вы уж и формулы знаете (самого Тейлора, я так понял), то... вперёд!

(О, двое уже ответили, пока я болтологию разводил).

[Pormonik]

Друзья вот что получается:

$$\lim\limits_{t\to 0}\frac{2(t+1)*e^t-(t+1)^3-(t+1)}{t^3}$$

=

$$\lim\limits_{t\to 0}\frac{2e^t-(t+1)^2-1}{t^3}$$

(сократил 2 скобки) =

$$\lim\limits_{t\to 0}\frac{2(1+t+t^2/2+0*(t^2)-(t+1)^2-1}{t^3}$$

получается у меня почему то 0.где я ошибся и каков должен быть ответ?)

[venco]

Добавьте ещё членов разложения $e^t$, пока не получится не ноль.

[Pormonik]

можно поподробнее?)

[venco]

Вы формулу Тейлора для экспоненты знаете? Запишите её.
Хотя, судя по тому, что вместо о-малой у вас умножение на ноль, вы таки не знаете, что такое ряд Тейлора, а просто переписали откуда-то, как поняли...

(Оффтоп)

Я не знаю, как в таких случаях следует поступать. Вроде здесь не занимаются полноценным обучением, а только помогают разобраться с непонятными местами.

[AKM]

Ваше

$$\lim\limits_{t\to 0}\frac{2(1+t+t^2/2+0*(t^2)-(t+1)^2-1}{t^3}$$

я бы переписал как

$$\lim\limits_{t\to 0}\frac{2[1+t+t^2/2+o(t^2)]-(t+1)^2-1}{t^3},$$

и уточнил бы: Вы это имели в виду? о-малое?
А почему Вы остановились на этом члене от Тэйлора? Не выписать ли их поболее, посокращать, и вдумчиво посмотреть, сколько их на самом деле надобно?

О, опять пока я болтал, двое ответили...

-- Вт янв 12, 2010 00:15:11 --

Да, действительно, если Вы считали это умножением, то надо бы учебник почитать. Про обозначения о-малое и О-большое...

[Pormonik]

Да действительно,ошибка в то что я принял о малую за 0.
$e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3!}+\frac{x^4}{4!}....\frac{x^n}{n!} + Rn(x)$
Честно говоря не понимаю зачем дальше расписывать ряд Тейлора,если дробь все равно превращается в 0?Поточнее пожалуйста

[venco]

Pormonik в сообщении #279644 писал(а):

Честно говоря не понимаю зачем дальше расписывать ряд Тейлора,если дробь все равно превращается в 0?Поточнее пожалуйста

Не всё равно. Вы попробуйте сделать то, что вам посоветовали.

[AKM]

Я, например, не вижу, почему она превращается в ноль. Вижу якобы бесконечность, но не верю в неё, не верю от того, что Вы не выписываетете предложенное и не приводите, для пущей ясности, подобные члены.

[Pormonik]

$$\lim\limits_{t\to 0}\frac{2[1+t+t^2/2+{t^3\over3!}+{t^4\over4!}+{t^4\over5!}....{t^n\over n!}+Rn(x)]-(t+1)^2-1}{t^3}$$

я выписал ряд,и к чему мы пришли?и еще вопрос что значит R?

[AKM]

Мы пришли к тому, что я сейчас почему-то буду за Вас старательно преобразовывать формулу --- приводить подобные члены. В принципе, неплохое достижение. Результат напишу. А про Rn доставать и переписывать учебник, наверное, поленюсь.

-- Вт янв 12, 2010 00:50:20 --

$$\lim\limits_{t\to 0}\frac{2[1+t+t^2/2+{t^3\over3!}+{t^4\over4!}+\ldots]-(t+1)^2-1}{t^3}= \lim\limits_{t\to 0}\frac{2{t^3\over3!}+2{t^4\over4!}+\ldots}{t^3}= \lim\limits_{t\to 0}\left(\frac2{3!}+\underbrace{\frac2{4!}t+\ldots}_{\displaystyle{}\to 0?}\right) $$

И тут-то, видимо, какие-то свойства остаточного члена и выплывают... Эти самые о-малые...
Я и правда забыл слова этих песен, боюсь войти в контрадикцию с правильным изложением. Да и полноценно надо изучить, коли Вы уж изучаете матан.

[Pormonik]

ясно,спасибо)ну у меня все таже белиберда с цифрами...