Показатель Херста

[Dmitrii]

Здравствуйте!!! Согласно определению, показатель Херста H выражается следующей формулой

$ $$ \frac {R}{S}\ = (\frac {N}{2})\)^H $

В этой формуле H - показатель Херста, N - число отсчетов функции, R - размах функции (разность между максимальным и минимальным значениями), S - среднеквадратическое отклонение функции.

Из формулы можно сделать вывод, что $ H\geqslant\)0$, т.к. $ $$ \frac {R}{S}\ \geqslant\)1 $. Но есть еще одно ограничение. Помимо того, что $ H\geqslant\)0$, известно, что $ H\leqslant\)1.$ Доказательство этого неравенства сводится к доказательству неравенства $ \frac {R}{S}\ \leqslant \frac {N}{2}.\ \ Я пытался доказать это неравенство, но не получается. Подскажите, пожалуйста, как это можно сделать.

С уважением

Dmitry

[Хорхе]

Что такое "отсчеты" функции?

[Dmitrii]

Да, правильнее, думаю, будет "значения функции". Просто в теории цифровой обработки сигналов, с которой я работаю, употребляется термин "отсчеты сигнала" = "значения сигнала". Меня сейчас гораздо больше интересует вопрос с неравенством.

Заранее благодарю

[Хорхе]

Простые рассуждения (для какого набора значений с данным значением размаха среднеквадратическое отклонение минимально?) дают $\frac RS \le \sqrt{2N}$, что не очень-то согласуется с тем, что Вам надо доказать.

А вообще откуда взялась эта формула? Обычно $R/S$-статистику (именно так называется то, что Вы называете "показателем Херста") определяют по-другому.

[Dmitrii]

Спасибо за ответ!!! Я сейчас точно не помню, откуда эта формула - из одной из статей, которые у меня есть. Вообще я встречал несколько различных определений показателя Херста. Как именно вы привыкли определять R/S статистику?

Заранее спасибо

[Хорхе]

Я привык так: $R/S = c_H N^H$,

$$R = \max_{k=1,\dots,N}\sum_{i=1}^k (x_i-\overline x) - \min_{k=1,\dots,N}\sum_{i=1}^k (x_i-\overline x),$$

где $x_i$ -- значения, $\overline x$ -- их среднее, $S$ -- среднеквадратическое отклонение. Константа $c_H$ обычно не задается прямо. Просто берут несколько разных $N$ и определяют $H$.

[Dmitrii]

Понятно. Как из этого неравенства доказать, что $ H\leqslant\)1$? Насколько я знаю, показатель Херста заключен именно в этих пределах ($ H\leqslant\)1$ и $ H\geqslant\)0$. Что касается нижнего предела, то он следует из физических соображений. А вот верхний предел пока мне доказать не удается. Буду вам признателен за совет.

Заранее благодарю

[und]

Здравствуйте. У меня такой вопрос, точнее задача.

Используя R, генерирую график. H=0.75, n=1000.

n<-1000;H<-0.75
z<-perturbFBM(n,H,type="AO",SNR=-20,plot=TRUE)
dvFBM(z,method="ST")
dvFBM(z,nma="d4",method="TM",par=list(beta1=.1,beta2=.1))

Вот график :



Преподаватель очень не внятно сказал, что нужно сделать, как я понял, нужно проверить, по графику или сгенерировынным числам, будет ли H=0.75. Прочитал тутhttp://capital-times.com.ua/dobavit-novost/view-30.html, нашел формуду $H=log(R/S)/log(aN)$/ Подходит ли она мне, если мне даны только 1000 сгенерированных чисел.