Задача, ЕГЭ C2 - геометрия

[ArtOf]

В кубе A...D_1 точки E, F - середины ребер соответственно A_1B_1 и C_1D_1. Найдите косинус угла между прямыми AE и BF.
У меня такая мысль по решению перенести на ось координат x,y,z, затем найти координаты векторов и потом с помощью скалярного произведения векторов найти косинус угла.
Ответ должен быть
$\sqrt{5}/5$

[AKM]

У Вас ещё, похоже, есть время поправить заголовок и явить миру свои попытки решения.
Используйте кнопку для редактирования своего сообщения, пока она активна (1 час).

-- Сб янв 09, 2010 18:43:20 --

Во, и заголовочек потолковее, плиииз...

-- Сб янв 09, 2010 18:45:06 --

Если Вам повезёт, то кто-нибудь поймёт, что означают слова "перенести на ось координат x,y,z".

[ArtOf]

AKM
Сделал
Я имел ввиду в прямоугольную систему координат x,y,z

[gris]

Надо параллельно перенести прямую $AE$ поближе к $FB$
Косинус угла прекрасно находится по теореме косинусов.

[ArtOf]

gris
Хм, сейчас попробую. Спасибо за наводку.
Получается ось x, y, z не нужна?

[gris]

Пока Вы решаете, я поболтаю.
Есть приёмы, срабатывающие в большинстве случаев. В стереометрии почти всё находится из треугольников. Значит надо найти или построить треугольник, в котором есть искомый отрезок или угол. Либо отрезок или угол, равный искомому.
Угол между прямыми не меняется при их параллельном переносе (не важно, что двигать - отрезок или всю прямую).
Разумеется, нельзя считать это догмой. Но поиски решения лучше начинать с поисков подходящего треугольника.

[ArtOf]

1) Параллельным переносом переносим отрезок $AE$ в точку B получаем отрезок $ BE_2=AE$
2) Соединяем точки $E_2 и F$, получаем треугольник $BE_2F$
3) Мы знаем теорему косинусов из которой можно выразить косинус угла $a^2=b^2+c^2-2bccos\alpha \Rightarrow 2bccos\alpha=b^2+c^2-a^2 \Rightarrow cos\alpha=(b^2+c^2-a^2)/2bc$
А дальше что?)
Я думал, найти расстояние между точками, но я не помню формулу.
Затем бы я бы подставил в из п.3, и нашел бы $cos\alpha$

[gris]

Если не получается, то надо попробовать перенести отрезок в другое место
Например, вдоль оси икс

[ArtOf]

gris
Если переносить вдоль оси y, то
Ответ:
$1/\sqrt2$
Но он не сходиться с ответом в книге, возникает вопрос, может ли быть два решения данного задания, одно из которых не было указано.
Если надо могу написать полностью все свое решение, чтобы вы проверили.

[gris]

Получается треугольник $DFB$. Если ребро куба принять равным 2, то стороны треугольника равны $\sqrt5,\sqrt8,\sqrt9$
И косинус равен ... тому самому. Найдите сами

Ищите ошибку у себя. Наверное, приняли ребро куба за $a$ и запутались с дробями. А дроби это мой враг. Я всегда делаю ошибки. Поэтому подбираю единицы измерений так, чобы избежать дробей.

[ArtOf]

Решение:
1) Параллельным переносом переносим отрезок $AE$ в точку B получаем отрезок $ BE_2=AE$
2) Соединяем точки $E_2 и F$, получаем треугольник $BE_2F$
3) Мы знаем теорему косинусов из которой можно выразить косинус угла $a^2=b^2+c^2-2bccos\alpha \Rightarrow 2bccos\alpha=b^2+c^2-a^2 \Rightarrow cos\alpha=(b^2+c^2-a^2)/2bc$
4) Найдем координаты точек $B; E_2; F$
$B(0;6;0) E_2(0;9;6) F(-6;3;6)$
Мы знаем формулу: $d=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2+(z_2-z_1)^2}$, с помощью которой можно найти длины отрезков $a,b,c$
$FE_2=c=\sqrt{(0-(-6))^2+(9-3)^2+(6-6)^2}=\sqrt{6^2+6^2}=\sqrt{72}$
$FB=b=\sqrt{(0-(-6))^2+(6-3)^2+(0-6)^2}=\sqrt{6^2+3^2+(-6)^2}=\sqrt{81}=9$
$BE_2=a=\sqrt{(0-0)^2+(9-6)^2+(6-0)^2}=\sqrt{3^2+6^2}=\sqrt{45}$
5) подставим значения $a, b, c$ из п.4 в п.3
$cos\alpha=(9^2+\sqrt{72}^2-\sqrt{45}^2)/2*9*\sqrt{72}=(81+72-45)/18*\sqrt{36*2}=(153-45)/18*6*\sqrt2=108/108*\sqrt2=1/\sqrt2$
Ответ: $1/\sqrt2$
gris
Это вы переносили вдоль оси х, а я переносил вдоль оси у.
Получается, что у данного задания множество решений, и каждое из них будет правильным.
Или же я не прав?
gris
я видел чему равен косинус, но это будет наша маленькая тайна.
$6/(3*2*\sqrt5)=1/\sqrt5$ наверно это было так.

[gris]

С координатами можно и без параллельного переноса. Вы не тот угол нашли.
Кстати, косинус может быть и отрицательным. Угол же может определяться с точностью до дополнения к развёрнутому.
Я просто был уверен, что Вы и без посказки решите

[ArtOf]

gris
Хм, как это не тот, тот, если перенос я сделал правильно, то получается, что у нас отрезки $BE_2=AE$ и $BF$, отсюда сделует, что надо найти угол между $BE_2$ и $BF$, следовательно это угол $B$, вы наверно имели ввиду, то что я запутался со сторонами, да?

[gris]

Стороны у нас одинаковые. Но Вы не к тому углу применили теорему. Надо к $B$, а Вы к $F$

[ArtOf]

4) Найдем координаты точек $B; E_2; F$
$B(0;6;0) E_2(0;9;6) F(-6;3;6)$
Мы знаем формулу: $d=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2+(z_2-z_1)^2}$, с помощью которой можно найти длины отрезков $a,b,c$

$FE_2=a=\sqrt{(0-(-6))^2+(9-3)^2+(6-6)^2}=\sqrt{6^2+6^2}=\sqrt{72}$

$FB=b=\sqrt{(0-(-6))^2+(6-3)^2+(0-6)^2}=\sqrt{6^2+3^2+(-6)^2}=\sqrt{81}=9$

$BE_2=c=\sqrt{(0-0)^2+(9-6)^2+(6-0)^2}=\sqrt{3^2+6^2}=\sqrt{45}$
5) подставим значения $a, b, c$ из п.4 в п.3
$cos\alpha=(9^2+\sqrt{45}^2-\sqrt{72}^2)/2*9*\sqrt{45}=(81+45-71)/2*9\sqrt{5*9}=(126-72)/2*9*3\sqrt5=54/54*\sqrt5=1/\sqrt5$
Исправил и получил такой же ответ, как был у вас, но ответ должен быть $\sqrt5/5$.
Возникает вопрос где ошибка?