Все последовательности из

можно разбить на счётное число классов, собирая в один класс множество всех последовательностей с одинаковым номером последнего ненулевого члена. Ясно, что в каждом таком классе имеется счётное число элементов - для класса с номером

таким элементом является какая-либо группа рациональных чисел

. Мощность множества таких групп равна мощности

, то есть имеем счётный класс для каждого

. Счётное объединение счётных множеств само счётно. Таким образом

счётно.
Теперь к конструкции последоватеьности. Зададимся

. Берём

и рассматрваем первый её член -

. Так как

всюду плотно в

, мы относительно простой евклидовой метрики можем взять шар радиуса

, в котором найдутся рациональные точки

, такие что

, то есть приближающие

. Продолжая так по индукции получим для члена

точку

из шара радиуса

. Таким образом для каждого

, где

- номер последнего ненулевого члена, можно записать

, откуда, возводя в квадрат, получаем

. Сходимость построенной последовательности следует из того, что для любого

можно найти номер

такой, что для всех

имеем

, так как

для больших

ввиду сходимости ряда

.
Кажется так. Правильно?