Возведение матрицы в произвольную степень

[buker]

Добрый день!
Передо мной стоит следующая задача:
Дана матрица в верхнем виде Хессенберга
$B=\begin{pmatrix} b_1 & b_2 & \ldots & b_{k-1}& b_k \\ 1 & 0 & \ldots & 0 & 0 \\ 0 & 1 & \ldots & 0 & 0\\ \vdots& \vdots &\ddots & \vdots & \vdots\\ 0 & 0 & \ldots & 1 & 0 \end{pmatrix}, b_k \neq 0 $
требуется в явном виде (не численными методами) найти выражения для элементов матрицы $B^n$ для произвольного натурального $n$.
Прирешении были достигнуты следующие результаты:
1. необходимо найти только явный вид элементов первой строки, котому как для элементов нижеследующих справедливо $b^n_{i,j}=b^{n-1}_{i-1,j}$ по построению матрицы
2. для элементов первой строки справедливо следующее реккурентное соотношение:
$b^n_{1,j}=\sum_{i=j}^kb_ib^{(n-1+j)-i}_{1,1}$, причем вехние левые элементы находятся также по реккуретному соотношению $b^n_{1,1}=\sum_{i=1}^kb_ib^{n-i}_{1,1}$.

Таким образом, вроде бы алгоритм поиска требуемых значения задан, но необходим явный вид от параметров $b_1,b_2,\ldots,b_k$. В попытке заметить зависимость (возводя "вручную" матрицу $B$ в небольшие степени), а потом доказать по индукции успехов особых не добился

Также совершенно неприменимым является радикально иной метод нахождения степеней через Жорданову форму - собственный многочлен имеет вид $p_n(\lambda)=(-1)^n\lambda^n+\sum_{i=1}^{n-1}b_i\lambda^{n-i}$, решить который в общем виде не представляется возможным.

Буду признателен за помощь и умные мысли!

[maxal]

Явная формула будет так или иначе содержать корни характеристического многочлена.
А вообще такие матрицы называются сопровождающими.

[buker]

maxal в сообщении #279014 писал(а):

А вообще такие матрицы называются сопровождающими.

огромное спасибо за информацию!!!

то есть насколько я понимаю, учитывая тот факт, что точных методов для нахождения корней уравнения степени, больше 4-х нет, то и решить поставленную мною задачу нет никакой возможности?

вопрос в тему: можно ли в явном виде найти решение регрессионного уравнения $a_n=\sum_{i=1}^k\alpha_ia_{n-i}$ для произвольного $k$? при $k=2$ - решение известно (например, решение уравнения Фиббоначи). Очевидно, что решение и этой и предыдущей задачи содержится в решении уравнения $k$ степени, но может есть какие-нибудь интересные мысли у кого-нибудь?

Спасибо!

[maxal]

buker в сообщении #279030 писал(а):

то есть насколько я понимаю, учитывая тот факт, что точных методов для нахождения корней уравнения степени, больше 4-х нет, то и решить поставленную мною задачу нет никакой возможности?

Явную формулу получить не удастся, но быстрый алгоритм - вполне.

buker в сообщении #279030 писал(а):

вопрос в тему: можно ли в явном виде найти решение регрессионного уравнения $a_n=\sum_{i=1}^k\alpha_ia_{n-i}$ для произвольного $k$?

А начальные условия какие?

[buker]

Цитата:

А начальные условия какие?

более точно было бы задать условия в виде:
$a_0=a, a_n=\sum_{i=1}^{min(n,k)}\alpha_{i}a_{n-i}, n>0$

[maxal]

buker
Это линейное рекуррентное уравнение. Явная формула выражается через корни его характеристического многочлена.

[buker]

maxal в сообщении #279109 писал(а):

buker
Это линейное рекуррентное уравнение. Явная формула выражается через корни его характеристического многочлена.

я конечно это понимаю, на что и указываю в предыдущем треде. К сожалению осознаю и то, что для произвольно го $k$ найти корни многочлена не возможно. а поэтому тешу себя надеждой (хотя наверно зря), что можно что-то "хитрое" придумать, чтобы обойти необходимость решения уравнения произвольной степени.

[maxal]

buker в сообщении #279376 писал(а):

а поэтому тешу себя надеждой (хотя наверно зря), что можно что-то "хитрое" придумать, чтобы обойти необходимость решения уравнения произвольной степени.

Детально не проверял, но скорее всего это равносильные задачи. То есть, если вы придумаете что-то "хитрое", выражающее общее решение рекуррентного уравнения, то из него можно вывести формулу для корней характеристического многочлена.

[buker]

именно абсолютно точно равносильные. в том то и дело, поэтому и пишу про "зря". попробовал ужде несколько методов, но как и следовало ожидать все так или иначе сводится к одной задаче.