Про ряды Фурье (ограниченность частичных сумм ряда)

[Padawan]

Доказать, что последовательность частичных сумм ряда $\sum\limits_{k=1}^\infty\displaystyle\frac{\sin kx}{k}$ равномерно ограничена на всей числовой прямой.

Я применил преобразование Абеля к сумме $\sum\limits_{k=1}^n\frac{1}{k} \sin kx$. Получилось, что надо оценить модуль суммы $|B_n(x)|=|\sum\limits_{k=1}^n\sin kx|\leq C_n$ такой константой $C_n$, чтобы $C_n=o(n)$ и ряд $\sum\limits_{n=1}^\infty\displaystyle\frac{ {C_n}}{n^2}$ сходился. Для $B_n(x)$ есть явное выражение $B_n(x)=\displaystyle\frac {\frac{n+1}{2}x \sin\frac n2x}{\sin{\frac x2}}$ но что-то оно не помогает...

[Полосин]

Этот ряд суммируется в явном виде.

[Padawan]

Я знаю

[Полосин]

Тогда посмотрите в Фихтенгольце раздел "Явление Гиббса".

[Padawan]

Похоже $C_n\geq an$, $a>0$. Значит надо не через преобразование Абеля.

[mihiv]

Обозначим $b(x)=x-2\pi [\frac x{2\pi }],\sin kx=\sin k b(x).$Поэтому $\sum \limits _{k=1}^n\dfrac {\sin kx }k=\sum \limits _{k=1}^n\int \limits _0^{b(x)}\cos ktdt=\int \limits _0^{b(x)}\dfrac {\cos \frac {n+1}2t\sin \frac {nt}2}{\sin \frac t2}dt=\frac 12\int \limits _0^{b(x)}\dfrac {\sin \frac {(2n+1)t}2-\sin \frac t2}{\sin \frac t2}dt.$Этот интеграл оценивается по второй теореме о среднем.

[ewert]

Padawan в сообщении #278612 писал(а):

Для $B_n(x)$ есть явное выражение $B_n(x)=\displaystyle\frac {\sin\frac{n+1}{2}x\, \sin\frac n2x}{\sin{\frac x2}}$ но что-то оно не помогает...

Да вроде можно выкрутиться и с Абелем, если чуть тщательнЕе. Если $n<\dfrac{1}{x}$, то, очевидно, $S_n<S_{1/x}<1$. Если же $n>\dfrac{1}{x}$, то избыточные слагаемые представимы примерно как $\left.\dfrac{B_k(x)}{k}\right|_{k=1/x}^n+\sum\limits_{k=1/x}^n\dfrac{B_k(x)}{k^2}$. Здесь первое слагаемое на нижнем пределе -- порядка единицы, а на верхнем -- не более чем порядка единицы, т.к. числитель на нижнем пределе не то чтоб достигал своего максимума, но, во всяком случае, отделён от нуля. Оставшаяся же сумма (второе слагаемое) оценивается грубо как $\sum\limits_{k=1/x}^n\dfrac{1}{k^2\sin{x\over2}}<\left(\dfrac{1}{x}\right)^{-1}\cdot\dfrac{1}{\sin{x\over2}}<\mathrm{const}$.

(Прошу прощенья за разгильдяйство с пределами и прочими нюансами, лень наводить марафет.)