Вращательное движение

[Kafari]

Всех с праздником, с Рождеством Христовым!
Помогите мне, пожалуйста, разобраться в выводе одного уравнения. Пытаюсь вот добиться чкго-нибудь, да как-то не очень получается.
В лабораторной системе координат тело вращается вокруг некоторой оси, имеет угловую скорость $\overline{\omega}$ и момент импульса $\overline{L}$. Также есть система координат, жестко связанная с этим телом, и в ней есть постоянные $J_x$, $J_y$, $J_z$ - моменты инерции относительно осей $x$, $y$, $z$ (они у меня главные оси, если это где-нибудь пригодится). Момент внешних сил равен нулю, то есть $\frac {d\overline{L}} {dt} = 0$. И мне нужно из этого получить что-то вроде

$J_x\frac{\partial\omega_x}{\partial t} + \omega_y\omega_z(J_z - J_y) = 0$

$J_y\frac{\partial\omega_y}{\partial t} + \omega_z\omega_x(J_x - J_z) = 0$

$J_z\frac{\partial\omega_z}{\partial t} + \omega_x\omega_y(J_y - J_x) = 0$

Вот я так начинаю. Раскладываю $\overline{L} = L_xi + L_yj + L_zk$, где $i, j, k$ - единичные векторы той системы координат, которая связана с телом. Получаю:
$\frac{dL}{dt} = d{(L_xi + L_yj + L_zk)}{dt} = i\frac{\partial L_x}{\partial t} + j\frac{\partial L_y}{\partial t} + \frac{\partial L_z}{\partial t} + L_x\frac{di}{dt} + L_y\frac{dj}{dt} + L_z\frac{dk}{dt} = \\ \\= i\frac{\partial L_x}{\partial t} + j\frac{\partial L_y}{\partial t} + \frac{\partial L_z}{\partial t} + L_x[\overline{\omega}*i] + L_y[\overline{\omega}*j] + L_z[\overline{\omega}*k]$

Вот пока на что меня хватило. Дальше, наверное, надо как-то проецировать это все на оси, но если первые три слагаемых я могу спроецировать, то что делать с векторными произведениями, не знаю. Не подскажите? И вообще, насколько это правильно все, потому что как-то я в этом плаваю))

Заранее спасибо!

[ShMaxG]

Ну фактически вы хотите вывести динамические уравнения Эйлера из того, что $\[\frac{{d{\text{L}}}} {{dt}} = 0\]$.

Можно просто понять, что это - равенство нулю скорости точки $L$ - конца вектора $\[{\text{L}}\]$. Рассматривая это движение как сложное: $\[\frac{{d{\text{L}}}} {{dt}} = {\left( {\frac{{d{\text{L}}}} {{dt}}} \right)^'} + \left[ {\omega ,{\text{L}}} \right] = 0\]$. Теперь остается вспомнить связь момента импульса и угловой скорости, воспользоваться тем, что оси - главные и приравнять все три компоненты к нулю.

И не забывайте про то, что компоненты вектора угловой скорости (как и момента импульса) - по отношению к системе, связанной с телом.

-- Чт янв 07, 2010 19:08:11 --

На всякий случай, если забыли: $\[\left[ {a,b} \right] = \left| {\begin{array}{*{20}{c}} i & j & k \\ {{a_i}} & {{a_j}} & {{a_k}} \\ {{b_i}} & {{b_j}} & {{b_k}} \\ \end{array} } \right|\]$

[Kafari]

Спасибо огромное! Вот как-то сразу не пришло в голову раскрыть векторное произведение