Линейные векторные пространства

[Nogin Anton]

А какие можно привести примеры линейных векторных пространств?

[AD]

(какой-то я болтливый сегодня)

Если $X$ - произвольное множество, $\mathbb{K}$ - Ваше любимое ["числовое"] поле, то множество всех функций $f:X\to\mathbb{K}$, отличных от нуля лишь в конечном числе точек, рассматриваемое с операциями поточечного сложения и умножения на скаляры [из $\mathbb{K}$] будет линейным пространством над $\mathbb{K}$, размерность которого равна мощности множества $X$.

Кстати, в Википедии неправильно:

Кто-то в википедии писал(а):

Пространство всех функций $X\to P$ образует векторное пространство размерности равной мощности $X$.

Если $X$ счётно, то получаемое таким образом пространство будет континууммерным, а как у меня - действительно счетномерным.

Никаких принципиально других линейных пространств нет - это полная классификация.
_________________

Тем не менее, большинство встречающихся на практике бесконечномерных пространств выглядят совсем не так, и приведение к такому виду бессмысленно, а часто и невозможно ни в каком разумном смысле (ну то есть только известно, что свести можно, но как именно - никто не берётся указать)

Поэтому стандартный комплект примеров примерно такой:

- $\mathbb{R}^n$ - самое обычное $n$-мерное пространство. Состоит из векторов, являющихся упорядоченными $n$-ками чисел. Операции покомпонентные. Некоторые зачем-то различают пространства, в которых векторы записаны "в строчку" и "в столбик".
- Всевозможные пространства последовательностей: всех, ограниченных, сходящихся, стремящихся к нулю, со сходящейся суммой, итп. Операции тоже покомпонентные. А вот пространство монотонных последовательностей с такими операциями линейного пространства не образует. То есть даже говорить так нельзя, потому что это не операции даже получаются. Зато его можно "замкнуть" до пространства "последовательностей ограниченной вариации" - это всевозможные разности монотонных последовательностей, и они уже образуют линейное пространство.
- Всевозможные пространства функций: всех, имеющих в какой-то точке предел, интегрируемых, непрерывных, дифференцируемых, аналитических, вовсе многочленов, многочленов степени не выше данной, а еще функций, равных в какой-то точке нулю, или имеющих ограниченный носитель, или даже конечный носитель ...
- Всевозможные линейные операторы (или даже тензоры вот еще такие есть) на любом пространстве в любое линейное пространство тоже образуют линейное пространство (частный случай предыдущего "примера"). Соответственно, пространство матриц тоже есть такое.
- А еще с пространствами можно делать всякие операции тоже - рассматривать подпространства, пересекать, перемножать декартово и тензорно, ...

Кого еще я забыл?

[Nogin Anton]

Спасибо!

[AD]

Пожалуйста, не используйте красный цвет (отредактировал Ваше сообщение)
Он зарезервирован для использования модераторами в особо тяжелых случаях, и это более-менее записано в правилах.