Отношение симметричных функций.

[Руст]

По n положительным числам можно построить разные симметричные функции, например:
$S_m=\sum_j x_i^m.$
Все симметричные функции можно выразить через основные симметричные функции:

$$\sigma_m =\sum_{i_1<i_2<...<i_m} x_{i_1}x_{i_2}...x_{i_m}. $$

Существуют ли формулы для максимальных и минимальных значений двух симметричных функций одного порядка (здесь требуется положительность переменных). Мне известны только значения этих отношений для двух симметричных функций второго порядка. Для $m$-го порядка каждая симметричная функция является линейной комбинацией $k(m)$ симметричных функций, где $k(m)$ число представлений числа $m$ в виде суммы невозрастающих натуральных чисел. Например $k(3)=3$ ($3=3+0+0,3=2+1,3=1+1+1$). Соответственно представляет интерес отношений этих функций. Если это интересно, вычислить максимальные и минимальные отношения этих функций до пятого порядка.

[maxal]

Непонятно, о каких конкретно функциях речь. Для пары произвольных симметричных функций одного порядка вопрос не имеет смысла, так как симметричные функции остаются таковыми при умножении на константу, и положительность переменных тут не спасет (другими словами, максимум будет $+\infty$, а минимум $-\infty$).

Представляет интерес такая задача: найти максимум и минимум $\sigma_m(x_1,\dots,x_n)$ при условии $\sigma_k(x_1,\dots,x_n)=1$ и $x_i\geq 0$. Сразу можно сказать, что при $k<m$ минимум $\sigma_m(x_1,\dots,x_n)$ равен нулю, но вот остальные случаи не такие тривиальные.

P.S. Число $k(m)$ принято называть числом разбиений и обозначать $p(m)$.

[Руст]

maxal писал(а):

Непонятно, о каких конкретно функциях речь. Для пары произвольных симметричных функций одного порядка вопрос не имеет смысла, так как симметричные функции остаются таковыми при умножении на константу, и положительность переменных тут не спасет (другими словами, максимум будет $+\infty$, а минимум $-\infty$).

Представляет интерес такая задача: найти максимум и минимум $\sigma_m(x_1,\dots,x_n)$ при условии $\sigma_k(x_1,\dots,x_n)=1$ и $x_i\geq 0$. Сразу можно сказать, что при $k<m$ минимум $\sigma_m(x_1,\dots,x_n)$ равен нулю, но вот остальные случаи не такие тривиальные.

P.S. Число $k(m)$ принято называть числом разбиений и обозначать $p(m)$.

Положительность ограничивает по крайней мере с одного конца, т.е. по крайней мере одна граница становится отличным от нуля или бесконечности, например $0<\frac{\sigma_2 }{s_2}\le \frac{2}{n-1}$, n - количество переменных.
Обычно многие неравенства связаны с отношениями симметричных функций.