Несобственные интегралы

[Nogin Anton]

Доброго времени суток!
Вопросы теоретического характера:
1) Несобственный интеграл с бесконечной областью интегрирования - это интегралы вида:
$\int_a^{+\infty}f(x)dx=\lim_{b\to+\infty}\int_a^bf(x)dx$
или
$\int_{-\infty}^{+\infty}f(x)dx=\int_{-\infty}^0f(x)dx+\int_0^{+\infty}f(x)dx$?
2) Не могу нигде найти про несобственные интегралы от неограниченных функций
Заранее спасибо!

[AD]

В учебный раздел.
Стрелочка пишется \to, а \right - это совсем другое. Поправил у Вас.

-- Чт янв 07, 2010 19:24:27 --

Nogin Anton в сообщении #278316 писал(а):

Вопросы теоретического характера:
1) Несобственный интеграл с бесконечной областью интегрирования - это интегралы вида:
$\int_a^{+\infty}f(x)dx=\lim_{b\right +\infty}\int_a^bf(x)dx$
или
$\int_{-\infty}^{+\infty}f(x)dx=\int_{-\infty}^0f(x)dx+\int_0^{+\infty}f(x)dx$?

Это скорее филологического характера
Лучше говорить "с неограниченной" (ибо отрезок $[0,1]$ тоже бесконечен), и в этом смысле оба интеграла учитываются.

Nogin Anton в сообщении #278316 писал(а):

2) Не могу нигде найти про несобственные интегралы от неограниченных функций
Заранее спасибо!

А где в Вашем любимом определении несобственного интеграла что-то сказано про ограниченность функции?

[passs]

1

от модератора AD:

Чего-чего?

[Nogin Anton]

Из определения определённого интеграла следует, что:
1) Область интегрирования - конечная область
2) Функция ограничена
Несобственный интеграл - интеграл, у которого хотябы одно из условий нарушено.
Так вот
Несобственный интеграл с бесконечной областью интегрирования (Нарушается первое условие)
Несобственный интеграл от неограниченных функций (нарушается второе условие)
Вопрос в том, что не получается дать определение несобственного интеграла от неограниченных функций

[AD]

Странный какой-то разговор. Определение всего одно -

$$\int\limits_{[a,b)}f(x)\,dx\stackrel{\mathrm{def}}{=}\lim_{\beta\to b-0}\int\limits_{[a,\beta]}f(x)\,dx$$

Здесь предполагается интегрируемость $f$ (по Риману, да?) на всех отрезках $[a,\beta]\subset[a,b)$, а $b$ может быть как конечным, так и бесконечным.

Можно дальше комбинировать, чтобы получились несобственные интегралы с любым числом особенностей, разбивая область на куски, на каждом из которых особенность одна.

[Nogin Anton]

спасибо